Остаток Пуанкаре - Poincaré residue

В математика, то Остаток Пуанкаре является обобщением, чтобы несколько сложных переменных и комплексное многообразие теория остаток на полюсе из теория сложных функций. Это лишь одно из множества возможных расширений.

Учитывая гиперповерхность ${displaystyle Xsubset mathbb {P} ^{n}}$ определяется степенью ${displaystyle d}$ многочлен ${displaystyle F}$ и рациональный ${displaystyle n}$-форма ${displaystyle omega }$ на ${displaystyle mathbb {P} ^{n}}$ с шестом порядка ${displaystyle k>0}$ на ${displaystyle X}$, то мы можем построить класс когомологий ${displaystyle operatorname {Res} (omega )in H^{n-1}(X;mathbb {C} )}$. Если ${displaystyle n=1}$ мы восстанавливаем классическую конструкцию вычетов.

Историческое строительство

Когда Пуанкаре впервые ввел вычеты^[1] он изучал интегралы периода вида

${displaystyle {underset {Gamma }{iint }}omega }$ за ${displaystyle Gamma in H_{2}(mathbb {P} ^{2}-D)}$

куда ${displaystyle omega }$ была рациональной дифференциальной формой с полюсами вдоль дивизора ${displaystyle D}$. Ему удалось свести этот интеграл к интегралу вида

${displaystyle int _{gamma }{ ext{Res}}(omega )}$ за ${displaystyle gamma in H_{1}(D)}$

куда ${displaystyle Gamma =T(gamma )}$, отправка ${displaystyle gamma }$ к границе твердого тела ${displaystyle varepsilon }$-трубка вокруг ${displaystyle gamma }$ на ровном месте ${displaystyle D^{*}}$делителя. Если

${displaystyle omega ={frac {q(x,y)dxwedge dy}{p(x,y)}}}$

на аффинной диаграмме, где ${displaystyle p(x,y)}$ неприводима степени ${displaystyle N}$ и ${displaystyle deg q(x,y)leq N-3}$ (так что на бесконечно удаленной линии нет полюсов^{[2] стр.150}). Затем он дал формулу для вычисления этого остатка как

${displaystyle { ext{Res}}(omega )={frac {qdx}{partial f/partial y}}={frac {qdy}{partial f/partial x}}}$

которые являются когомологичными формами.

Строительство

Предварительное определение

Учитывая настройку во введении, пусть ${displaystyle A_{k}^{p}(X)}$ быть пространством мероморфных ${displaystyle p}$-форма на ${displaystyle mathbb {P} ^{n}}$ которые имеют полюса порядка до ${displaystyle k}$. Обратите внимание, что стандартный дифференциал ${displaystyle d}$ отправляет

${displaystyle d:A_{k-1}^{p-1}(X) o A_{k}^{p}(X)}$

Определять

${displaystyle {mathcal {K}}_{k}(X)={frac {A_{k}^{p}(X)}{dA_{k-1}^{p-1}(X)}}}$

как рациональные группы когомологий де-Рама. Они образуют фильтрацию

${displaystyle {mathcal {K}}_{1}(X)subset {mathcal {K}}_{2}(X)subset cdots subset {mathcal {K}}_{n}(X)=H^{n+1}(mathbb {P} ^{n+1}-X)}$

соответствующий Фильтрация Ходжа.

Определение остатка

Рассмотрим ${displaystyle (n-1)}$-цикл ${displaystyle gamma in H_{n-1}(X;mathbb {C} )}$. Берем трубку ${displaystyle T(gamma )}$ вокруг ${displaystyle gamma }$ (который локально изоморфен ${displaystyle gamma imes S^{1}}$), который находится в дополнении ${displaystyle X}$. Поскольку это ${displaystyle n}$-цикл, мы можем интегрировать рациональный ${displaystyle n}$-форма ${displaystyle omega }$ и получите номер. Если мы запишем это как

${displaystyle int _{T(-)}omega :H_{n-1}(X;mathbb {C} ) o mathbb {C} }$

тогда мы получим линейное преобразование классов гомологии. Из двойственности гомологии / когомологии следует, что это класс когомологий

${displaystyle operatorname {Res} (omega )in H^{n-1}(X;mathbb {C} )}$

который мы называем остатком. Обратите внимание, если мы ограничимся случаем ${displaystyle n=1}$, это просто стандартный вычет из комплексного анализа (хотя мы расширяем наши мероморфные ${displaystyle 1}$-форма для всех ${displaystyle mathbb {P} ^{1}}$. Это определение можно резюмировать как карту

${displaystyle { ext{Res}}:H^{n+1}(mathbb {P} ^{n+1}setminus X) o H^{n}(X)}$

Алгоритм вычисления этого класса

Существует простой рекурсивный метод вычисления вычетов, который сводится к классическому случаю ${displaystyle n=1}$. Напомним, что остаток ${displaystyle 1}$-форма

${displaystyle operatorname {Res} left({frac {dz}{z}}+aight)=1}$

Если мы рассмотрим диаграмму, содержащую ${displaystyle X}$ где это исчезающее место ${displaystyle w}$, мы можем написать мероморфный ${displaystyle n}$-форма с опорой на ${displaystyle X}$ в качестве

${displaystyle {frac {dw}{w^{k}}}wedge ho }$

Тогда мы можем записать это как

${displaystyle {frac {1}{(k-1)}}left({frac {dho }{w^{k-1}}}+dleft({frac {ho }{w^{k-1}}}ight)ight)}$

Это показывает, что два класса когомологий

${displaystyle left[{frac {dw}{w^{k}}}wedge ho ight]=left[{frac {dho }{(k-1)w^{k-1}}}ight]}$

равны. Таким образом, мы понизили порядок полюса, поэтому мы можем использовать рекурсию, чтобы получить полюс порядка ${displaystyle 1}$ и определим остаток ${displaystyle omega }$ в качестве

${displaystyle operatorname {Res} left(alpha wedge {frac {dw}{w}}+eta ight)=alpha |_{X}}$

Пример

Например, рассмотрим кривую ${displaystyle Xsubset mathbb {P} ^{2}}$ определяется полиномом

${displaystyle F_{t}(x,y,z)=t(x^{3}+y^{3}+z^{3})-3xyz}$

Затем мы можем применить предыдущий алгоритм для вычисления остатка

${displaystyle omega ={frac {Omega }{F_{t}}}={frac {x,dywedge dz-y,dxwedge dz+z,dxwedge dy}{t(x^{3}+y^{3}+z^{3})-3xyz}}}$

С

${displaystyle {egin{aligned}-z,dywedge left({frac {partial F_{t}}{partial x}},dx+{frac {partial F_{t}}{partial y}},dy+{frac {partial F_{t}}{partial z}},dzight)&=z{frac {partial F_{t}}{partial x}},dxwedge dy-z{frac {partial F_{t}}{partial z}},dywedge dzy,dzwedge left({frac {partial F_{t}}{partial x}},dx+{frac {partial F_{t}}{partial y}},dy+{frac {partial F_{t}}{partial z}},dzight)&=-y{frac {partial F_{t}}{partial x}},dxwedge dz-y{frac {partial F_{t}}{partial y}},dywedge dzend{aligned}}}$

и

${displaystyle 3F_{t}-z{frac {partial F_{t}}{partial x}}-y{frac {partial F_{t}}{partial y}}=x{frac {partial F_{t}}{partial x}}}$

у нас есть это

${displaystyle omega ={frac {y,dz-z,dy}{partial F_{t}/partial x}}wedge {frac {dF_{t}}{F_{t}}}+{frac {3,dywedge dz}{partial F_{t}/partial x}}}$

Отсюда следует, что

${displaystyle operatorname {Res} (omega )={frac {y,dz-z,dy}{partial F_{t}/partial x}}}$

Смотрите также

• Остаток Гротендика
• Остаток Лере
• Остаток дна
• Пучок логарифмических дифференциальных форм
• нормальная пересекающаяся особенность
• Формула присоединения # остаток Пуанкаре
• Структура Ходжа
• Якобианский идеал

Рекомендации

1. Пуанкаре, Х. (1887). "Sur les résidus des intégrales doubles". Acta Mathematica (На французском). 9: 321–380. Дои:10.1007 / BF02406742. ISSN  0001-5962.
2. Гриффитс, Филипп А. (1982). «Пуанкаре и алгебраическая геометрия». Бюллетень Американского математического общества. 6 (2): 147–159. Дои:10.1090 / S0273-0979-1982-14967-9. ISSN  0273-0979.

Вводный

• Пуанкаре и алгебраическая геометрия
• Бесконечно малые вариации структуры Ходжа и глобальная проблема Торелли - Страница 7 содержит общую формулу вычисления с использованием когомологий Чеха

• Введение в остатки и результирующие вещества (PDF)
• Остатки более высоких размеров - Mathoverflow

Передовой

• Николаеску, Ливиу, Остатки и теория Ходжа (PDF)
• Шнелл, Кристиан, О вычислении уравнений Пикара-Фукса (PDF)

Рекомендации

• Борис Александрович Хесин, Роберт Вендт, Геометрия бесконечномерных групп. (2008) стр. 171
• Вебер, Анджей, Остаток Лере для особых многообразий (PDF)