Матрица Плюккера - Plücker matrix

В Матрица Плюккера это особенный кососимметричный 4 × 4 матрица, что характеризует прямую в проективное пространство. Матрица определяется как 6 Координаты Плюккера с 4 степени свободы. Назван в честь немецкого математика. Юлиус Плюкер.

Определение

Прямая линия в пространстве определяется двумя разными точками ${\displaystyle A=\left(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}}$ и ${\displaystyle B=\left(B_{0},B_{1},B_{2},B_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}}$ в однородные координаты из проективное пространство. Его матрица Плюккера:

${\displaystyle [\mathbf {L} ]_{\times }\propto \mathbf {A} \mathbf {B} ^{\top }-\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\top }=\left({\begin{array}{cccc}0&-L_{01}&-L_{02}&-L_{03}\\L_{01}&0&-L_{12}&-L_{13}\\L_{02}&L_{12}&0&-L_{23}\\L_{03}&L_{13}&L_{23}&0\end{array}}\right)}$

Где кососимметричный ${\displaystyle 4\times 4}$-матрица определяется 6 Координаты Плюккера

${\displaystyle \mathbf {L} \propto (L_{01},L_{02},L_{03},L_{12},L_{13},L_{23})^{\top }}$

с

${\displaystyle L_{ij}=A_{i}B_{j}-B_{i}A_{j}.}$

Координаты Плюккера соответствуют Соотношения Грассмана – Плюккера

${\displaystyle L_{01}L_{23}-L_{02}L_{13}+L_{03}L_{12}=0}$

и определены в полном масштабе. Матрица Плюккера имеет только классифицировать 2 и четыре степени свободы (как линии на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$). Они не зависят от конкретного выбора точек ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$ и может рассматриваться как обобщение линейного уравнения, т.е. перекрестное произведение как для пересечения (встречи) двух прямых, так и для линии соединения двух точек на проективной плоскости.

Характеристики

Матрица Плюккера позволяет нам выразить следующие геометрические операции в виде произведения матрицы на вектор:

• Самолет содержит линию: ${\displaystyle \mathbf {0} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} }$
• ${\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} }$ это точка пересечения прямой ${\displaystyle \mathbf {L} }$ и самолет ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ('Встретить')
• Точка лежит на линии: ${\displaystyle \mathbf {0} =[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }\mathbf {X} }$
• ${\displaystyle \mathbf {E} =[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }\mathbf {X} }$ это общий самолет ${\displaystyle \mathbf {E} }$, который содержит как точку ${\displaystyle \mathbf {X} }$ и линия ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ('Присоединиться').
• Направление линии: ${\displaystyle [\mathbf {L} ]_{\times }\pi ^{\infty }=[\mathbf {L} ]_{\times }(0,0,0,1)^{\top }=\left(-L_{03},-L_{13},-L_{23},0\right)^{\top }}$ (Примечание: последнее можно интерпретировать как плоскость, ортогональную линии, проходящей через начало координат)
• Ближайшая точка к исходной точке ${\displaystyle \mathbf {X} _{0}\cong [\mathbf {L} ]_{\times }[\mathbf {L} ]_{\times }\pi ^{\infty }.}$

Уникальность

Две произвольные различные точки на прямой можно записать как линейную комбинацию ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\prime }\propto \mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta {\text{ and }}\mathbf {B} ^{\prime }\propto \mathbf {A} \gamma +\mathbf {B} \delta .}$

Их матрица Плюккера такова:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[}\mathbf {L} ^{\prime }{]}_{\times }&=\mathbf {A} ^{\prime }\mathbf {B} ^{\prime }-\mathbf {B} ^{\prime }\mathbf {A} ^{\prime }\\[6pt]&=(\mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta )(\mathbf {A} \gamma +\mathbf {B} \delta )^{\top }-(\mathbf {A} \gamma +\mathbf {B} \delta )(\mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta )^{\top }\\[6pt]&=\underbrace {(\alpha \delta -\beta \gamma )} _{\lambda }[\mathbf {L} ]_{\times },\end{aligned}}}$

в масштабе идентично ${\displaystyle [\mathbf {L} ]_{\times }}$.

Пересечение с самолетом

Встреча плоскости и прямой в проективном трехмерном пространстве, выраженная умножением на матрицу Плюккера

Позволять ${\displaystyle \mathbf {E} =\left(E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}}$ обозначим плоскость уравнением

${\displaystyle E_{0}x+E_{1}y+E_{2}z+E_{3}=0.}$

который не содержит строки ${\displaystyle \mathbf {L} }$. Тогда произведение матрица-вектор с матрицей Плюккера описывает точку

${\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} =\mathbf {A} {\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {B} ^{\top }\mathbf {E} } }}-\mathbf {B} {\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {A} ^{\top }\mathbf {E} } }}=\mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta ,}$

который лежит на линии ${\displaystyle \mathbf {L} }$ потому что это линейная комбинация ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$. ${\displaystyle \mathbf {X} }$ также содержится в плоскости ${\displaystyle \mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {E} ^{\top }\mathbf {X} =\mathbf {E} ^{\top }[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} ={\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {E} ^{\top }\mathbf {A} } }}{\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {B} ^{\top }\mathbf {E} } }}-{\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {E} ^{\top }\mathbf {B} } }}{\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {A} ^{\top }\mathbf {E} } }}=0,}$

и поэтому должно быть их точкой пересечения.

Кроме того, произведение матрицы Плюккера на плоскость является нулевым вектором, в точности если прямая ${\displaystyle \mathbf {L} }$ целиком содержится в плоскости:

${\displaystyle \alpha =\beta =0\iff \mathbf {E} }$ содержит ${\displaystyle \mathbf {L} .}$

Двойная матрица Плюккера

Соединение точки и линии в проективном трехмерном пространстве, выраженное умножением на матрицу Плюккера

В проективном трехмерном пространстве и точки, и плоскости имеют то же представление, что и 4-векторы, и алгебраическое описание их геометрической связи (точка лежит на плоскости) симметрично. Меняя местами термины плоскость и точка в теореме, получаем двойной Теорема, которая тоже верна.

В случае матрицы Плюккера существует двойственное представление прямой в пространстве как пересечения двух плоскостей:

${\displaystyle E=\left(E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}}$

и

${\displaystyle F=\left(F_{0},F_{1},F_{2},F_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}}$

в однородные координаты из проективное пространство. Их матрица Плюккера:

${\displaystyle \left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }=\mathbf {E} \mathbf {F} ^{\top }-\mathbf {F} \mathbf {E} ^{\top }}$

и

${\displaystyle \mathbf {G} =\left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }\mathbf {X} }$

описывает самолет ${\displaystyle \mathbf {G} }$ который содержит как точку ${\displaystyle \mathbf {X} }$ и линия ${\displaystyle \mathbf {L} }$.

Связь между прямой и двойственной матрицей Плюккера

Как вектор ${\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} }$, с произвольной плоскостью ${\displaystyle \mathbf {E} }$, является либо нулевым вектором, либо точкой на прямой, следует:

${\displaystyle \forall \mathbf {E} \in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}:\,\mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} {\text{ lies on }}\mathbf {L} \iff \left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }\mathbf {X} =\mathbf {0} .}$

Таким образом:

${\displaystyle \left([{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }[\mathbf {L} ]_{\times }\right)^{\top }=[\mathbf {L} ]_{\times }\left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{4\times 4}.}$

Следующие продукты обладают этими свойствами:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\begin{array}{cccc}0&L_{23}&-L_{13}&L_{12}\\-L_{23}&0&L_{03}&-L_{02}\\L_{13}&-L_{03}&0&L_{01}\\-L_{12}&L_{02}&-L_{01}&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cccc}0&-L_{01}&-L_{02}&-L_{03}\\L_{01}&0&-L_{12}&-L_{13}\\L_{02}&L_{12}&0&-L_{23}\\L_{03}&L_{13}&L_{23}&0\end{array}}\right)\\[10pt]={}&\left(L_{01}L_{23}-L_{02}L_{13}+L_{03}L_{12}\right)\cdot \left({\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right)=\mathbf {0} ,\end{aligned}}}$

из-за Соотношение Грассмана – Плюккера. С единственностью матриц Плюккера с точностью до скалярных кратных для прямых координат Плюккера

${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{01},\,L_{02},\,L_{03},\,L_{12},\,L_{31},\,L_{23}\right)^{\top }}$

получаем следующие двойственные координаты Плюккера:

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {L} }}=\left(L_{23},\,-L_{13},\,L_{12},\,L_{03},\,-L_{02},\,L_{01}\right)^{\top }.}$

В проективной плоскости

Двойственность операций соединения и встречи в двумерном пространстве.

«Соединение» двух точек на проективной плоскости - это операция соединения двух точек прямой линией. Его линейное уравнение можно вычислить с помощью перекрестное произведение:

${\displaystyle \mathbf {l} \propto \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left({\begin{array}{c}a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}\\b_{0}a_{2}-a_{0}b_{2}\\a_{0}b_{1}-a_{1}b_{0}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}l_{0}\\l_{1}\\l_{2}\end{array}}\right).}$

Соответственно, можно выразить «встречу» или пересечение двух прямых с помощью перекрестного произведения:

${\displaystyle \mathbf {x} \propto \mathbf {l} \times \mathbf {m} }$

Связь с матрицами Плюккера становится очевидной, если написать перекрестное произведение как матрично-векторное произведение с кососимметричной матрицей:

${\displaystyle [\mathbf {l} ]_{\times }=\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\top }-\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\top }=\left({\begin{array}{ccc}0&l_{2}&-l_{1}\\-l_{2}&0&l_{0}\\l_{1}&-l_{0}&0\end{array}}\right)}$

и аналогично ${\displaystyle [\mathbf {x} ]_{\times }=\mathbf {l} \mathbf {m} ^{\top }-\mathbf {m} \mathbf {l} ^{\top }}$

Геометрическая интерпретация

Позволять ${\displaystyle \mathbf {d} =\left(-L_{03},\,-L_{13},\,-L_{23}\right)^{\top }}$ и ${\displaystyle \mathbf {m} =\left(L_{12},\,-L_{02},\,L_{01}\right)^{\top }}$, то мы можем написать

${\displaystyle [\mathbf {L} ]_{\times }=\left({\begin{array}{cc}[\mathbf {m} ]_{\times }&\mathbf {d} \\-\mathbf {d} &0\end{array}}\right)}$

и

${\displaystyle [{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }=\left({\begin{array}{cc}[-\mathbf {d} ]_{\times }&\mathbf {m} \\-\mathbf {m} &0\end{array}}\right),}$^{[нужна цитата ]}

куда ${\displaystyle \mathbf {d} }$ это смещение и ${\displaystyle \mathbf {m} }$ момент линии, сравните геометрическая интуиция координат Плюккера.

Рекомендации

• Рихтер-Геберт, Юрген (2011). Перспективы проективной геометрии: экскурсия по реальной и сложной проективной геометрии. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-17286-1.
• Хорхе Стольфи (1991). Ориентированная проективная геометрия: основа для геометрических вычислений. Академическая пресса. ISBN  978-1483247045.
  Из оригинального Стэнфордского университета 1988 г. диссертация, Примитивы для вычислительной геометрии, доступно как [1].
• Блинн, Джеймс Ф. (Август 1977 г.). «Однородная формулировка линий в 3-х пространстве». ACM SIGGRAPH Компьютерная графика. 11 (2): 237–241. Дои:10.1145/965141.563900. ISSN  0097-8930.