Преобразование Пиолы - Piola transformation

В Преобразование Пиолы карты векторов между эйлеровой и лагранжевой координатами в механика сплошной среды. Он назван в честь Габрио Пиола.

Определение

Позволять ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$ с ${\displaystyle F({\hat {x}})=B{\hat {x}}+b,~B\in \mathbb {R} ^{d,d},~b\in \mathbb {R} ^{d}}$ аффинное преобразование. Позволять ${\displaystyle K=F({\hat {K}})}$ с ${\displaystyle {\hat {K}}}$ область с липшицевой границей. Отображение

$${\displaystyle p:L^{2}({\hat {K}})^{d}\rightarrow L^{2}(K)^{d},\quad {\hat {q}}\mapsto p({\hat {q}})(x):={\frac {1}{|\det(B)|}}\cdot B\cdot {\hat {q}}({\hat {x}})}$$

называется преобразованием Пиолы. Обычное определение принимает абсолютное значение определителя, хотя некоторые авторы делают его просто определителем.^[1]

Примечание: более общее определение в контексте тензоров и эластичности, а также доказательство того свойства, что преобразование Пиолы сохраняет поток тензорных полей через границы, см. Ciarlet книга^[2]

Смотрите также

• Тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа
• Базисные функции Равьяра – Томаса
• Элемент Равиара – Томаса

Рекомендации

1. Ронь, Мари Э.; Кирби, Роберт С .; Логг, Андерс (2010). «Эффективная сборка ${\displaystyle H(\mathrm {div} )}$ и ${\displaystyle H(\mathrm {curl} )}$ Согласование конечных элементов ». Журнал SIAM по научным вычислениям. 31 (6): 4130–4151. arXiv:1205.3085. Дои:10.1137 / 08073901X.
2. Ciarlet, П. Г. (1994). Трехмерная эластичность. 1. Elsevier Science. ISBN  9780444817761.