Базисные функции Равьяра – Томаса - Raviart–Thomas basis functions

В прикладной математике Базисные функции Равьяра – Томаса находятся вектор базисные функции используется в заключительный элемент и методы граничных элементов. Они регулярно используются как базовые функции при работе в электромагнетизм. Их иногда называют Базисные функции Рао-Уилтона-Глиссона.^[1]

В Космос ${\displaystyle \mathrm {RT} _{q}}$ на базисные функции Равьяра – Томаса порядка ${\displaystyle q}$ наименьшее полиномиальное пространство такое, что расхождение карты ${\displaystyle \mathrm {RT} _{q}}$ на ${\displaystyle \mathrm {P} _{q}}$, пространство кусочно-полиномов порядка ${\displaystyle q}$.^[2]

Порядок 0 базисных функций Равиара-Томаса в 2D

В двумерное пространство, пространство Равиара Томаса низшего порядка, ${\displaystyle \mathrm {RT} _{0}}$, имеет степени свободы на краях элементов конечно-элементной сетки. В ${\displaystyle n}$-ое ребро имеет связанную базисную функцию, определяемую^[3]

${\displaystyle \mathbf {f} _{n}(\mathbf {r} )=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {l_{n}}{2A_{n}^{+}}}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{+})\quad &\mathrm {if\ \mathbf {r} \in \ T_{+}} \\-{\frac {l_{n}}{2A_{n}^{-}}}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{-})\quad &\mathrm {if\ \mathbf {r} \in \ T_{-}} \\\mathbf {0} \quad &\mathrm {otherwise} \end{array}}\right.}$

куда ${\displaystyle l_{n}}$ длина ребра, ${\displaystyle T_{+}}$ и ${\displaystyle T_{-}}$ два треугольника, примыкающие к краю, ${\displaystyle A_{n}^{+}}$ и ${\displaystyle A_{n}^{-}}$ площади треугольников и ${\displaystyle \mathbf {p} _{+}}$ и ${\displaystyle \mathbf {p} _{-}}$ - противоположные углы треугольников.

Иногда базовые функции альтернативно определяются как

${\displaystyle \mathbf {f} _{n}(\mathbf {r} )=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{2A_{n}^{+}}}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{+})\quad &\mathrm {if\ \mathbf {r} \in \ T_{+}} \\-{\frac {1}{2A_{n}^{-}}}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{-})\quad &\mathrm {if\ \mathbf {r} \in \ T_{-}} \\\mathbf {0} \quad &\mathrm {otherwise} \end{array}}\right.}$

без учета длины.

Рекомендации

1. Андриулли, Франческо П .; Охлаждает; Багчи; Олислагер; Буффа; Кристиансен; Михельсен (2008). "Многофункциональный предварительный кондиционер Кальдерона для интегрального уравнения электрического поля". Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 56 (8): 2398–2412. Дои:10.1109 / тап.2008.926788. HDL:1854 / LU-677703.
2. Кирби, Роберт С .; Андерс Логг; Энди Р. Террел (2010). «Обычные и необычные конечные элементы» (PDF). Получено 2 октября 2015.
3. Bahriawati, C .; Карстенсен, К. (2005). "Три реализации MATLAB MFEM Равиара-Томаса самого низкого порядка с контролем апостериорных ошибок" (PDF). Вычислительные методы в прикладной математике. 5 (4): 331–361. Дои:10.2478 / cmam-2005-0016. Получено 8 октября 2015.