Теорема Пикандса – Балкемы – де Хаана. - Pickands–Balkema–de Haan theorem

В Теорема Пикандса – Балкемы – де Хаана. часто называют второй теоремой в теория экстремальных ценностей. Это дает асимптотику распределение хвоста из случайная переменная  Икс, когда истинное распределение F из Икс неизвестно. В отличие от первой теоремы ( Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко. ) в теории экстремальных значений интерес здесь вызывают значения выше порога.

Функция распределения условного избытка

Если мы рассмотрим неизвестную функцию распределения ${\displaystyle F}$ случайной величины ${\displaystyle X}$, нас интересует оценка функции условного распределения ${\displaystyle F_{u}}$ переменной ${\displaystyle X}$ выше определенного порога ${\displaystyle u}$. Это так называемая функция условного избыточного распределения, определяемая как

${\displaystyle F_{u}(y)=P(X-u\leq y|X>u)={\frac {F(u+y)-F(u)}{1-F(u)}}}$

за ${\displaystyle 0\leq y\leq x_{F}-u}$, куда ${\displaystyle x_{F}}$ является либо конечной, либо бесконечной правой конечной точкой основного распределения ${\displaystyle F}$. Функция ${\displaystyle F_{u}}$ описывает распределение величины превышения над порогом ${\displaystyle u}$, учитывая, что порог превышен.

Заявление

Позволять ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\ldots )}$ быть последовательностью независимые и одинаково распределенные случайные величины, и разреши ${\displaystyle F_{u}}$ - их функция распределения условного избытка. Пикандс (1975), Балкема и де Хаан (1974) предположили, что для большого класса основных функций распределения ${\displaystyle F}$, и большой ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle F_{u}}$ хорошо аппроксимируется обобщенное распределение Парето. То есть:

${\displaystyle F_{u}(y)\rightarrow G_{k,\sigma }(y),{\text{ as }}u\rightarrow \infty }$

куда

• ${\displaystyle G_{k,\sigma }(y)=1-(1+ky/\sigma )^{-1/k}}$, если ${\displaystyle k\neq 0}$
• ${\displaystyle G_{k,\sigma }(y)=1-e^{-y/\sigma }}$, если ${\displaystyle k=0.}$

Здесь σ > 0 и у ≥ 0, когда k ≥ 0 и 0 ≤у ≤ −σ/k когда k <0. Поскольку частным случаем обобщенного распределения Парето является степенной закон, теорема Пикандса – Балкема – де Хаана иногда используется для обоснования использования степенного закона для моделирования экстремальных явлений. Тем не менее, многие важные распределения, такие как нормальные и логнормальные распределения, не имеют хвостов экстремальных значений, которые являются асимптотически степенными.

Частные случаи обобщенного распределения Парето

• Экспоненциальное распределение с иметь в виду ${\displaystyle \sigma }$, если k = 0.
• Равномерное распределение на ${\displaystyle [0,\sigma ]}$, если k = -1.
• Распределение Парето, если k > 0.

Связанные темы

Стабильное распространение

Рекомендации

• Балкема, А., и де Хаан, Л. (1974). «Остаточное время жизни в преклонном возрасте», Анналы вероятности, 2, 792–804.
• Пикандс, Дж. (1975). «Статистический вывод с использованием статистики экстремального порядка», Анналы статистики, 3, 119–131.