Классификация Петрова - Petrov classification

В дифференциальная геометрия и теоретическая физика, то Классификация Петрова (также известная как классификация Петрова – Пирани – Пенроуза) описывает возможные алгебраические симметрии из Тензор Вейля на каждом мероприятие в Лоренцево многообразие.

Чаще всего применяется при обучении точные решения из Полевые уравнения Эйнштейна, но, строго говоря, классификация - это теорема чистой математики, применимая к любому лоренцеву многообразию, независимо от какой-либо физической интерпретации. Классификация была основана в 1954 г. Петров А.З. и независимо Феликс Пирани в 1957 г.

Теорема классификации

Мы можем придумать четвертый классифицировать тензор такой как Тензор Вейля, оценивается на каком-то мероприятии, как действующий на пространстве бивекторы на этом мероприятии как линейный оператор действуя в векторном пространстве:

${\displaystyle X^{ab}\rightarrow {\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}X^{mn}}$

Тогда естественно рассмотреть проблему нахождения собственные значения ${\displaystyle \lambda }$ и собственные векторы (которые теперь называются собственными бивекторами) ${\displaystyle X^{ab}}$ такой, что

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}\,X^{mn}=\lambda \,X^{ab}}$

В (четырехмерном) лоренцевом пространстве-времени существует шестимерное пространство антисимметричных бивекторов в каждом событии. Однако из симметрий тензора Вейля следует, что любые собственные бивекторы должны принадлежать четырехмерному подмножеству. Таким образом, тензор Вейля (в данном событии) может фактически иметь самое большее четыре линейно независимые собственные бивекторы.

Как и в теории собственных векторов обычного линейного оператора, собственные бивекторы тензора Вейля могут встречаться с различными множественности. Как и в случае с обычными линейными операторами, любая кратность собственных бивекторов указывает на вид алгебраическая симметрия тензора Вейля на данном событии. Как и следовало ожидать от теории собственных значений обычного линейного оператора в четырехмерном векторном пространстве, различные типы тензора Вейля (в данном событии) могут быть определены путем решения характеристическое уравнение, в этом случае уравнение четвертой степени.

Эти собственные бивекторы связаны с некоторыми нулевые векторы в исходном пространстве-времени, которые называются основные нулевые направления (на данном мероприятии). полилинейная алгебра несколько сложен (см. цитаты ниже), но получившаяся классификационная теорема утверждает, что существует ровно шесть возможных типов алгебраической симметрии. Они известны как Типы Петрова:

В Диаграмма Пенроуза показаны возможные вырождения типа Петрова тензора Вейля

• Тип I: четыре простых главных нулевых направления,
• Тип II: одно двойное и два простых главных нулевых направления,
• Тип D: два двойных главных нулевых направления,
• Тип III: одно тройное и одно простое главное нулевое направление,
• Тип N: одно четырехкратное главное нулевое направление,
• Тип O: тензор Вейля обращается в нуль.

Возможные переходы между типами Петрова показаны на рисунке, что также можно интерпретировать как указание на то, что некоторые из типов Петрова «более особенные», чем другие. Например, введите я, самый общий тип, может выродиться к типам II или D, а введите II может выродиться в типы III, N, или D.

Различные события в данном пространстве-времени могут иметь разные типы Петрова. Тензор Вейля типа я (в некоторых случаях) называется алгебраически общий; в противном случае это называется алгебраически особенный (на том мероприятии). В общей теории относительности введите О время пространства конформно плоский.

Формализм Ньюмана – Пенроуза

В Формализм Ньюмана – Пенроуза на практике часто используется для классификации. Рассмотрим следующий набор бивекторов:^{[требуется разъяснение ]}

${\displaystyle U_{ab}=-l_{[a}{\bar {m}}_{b]}}$

${\displaystyle V_{ab}=n_{[a}m_{b]}}$

${\displaystyle W_{ab}=m_{[a}{\bar {m}}_{b]}-n_{[a}l_{b]}.}$

Тензор Вейля можно выразить как комбинацию этих бивекторов через

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{abcd}&=\Psi _{0}U_{ab}U_{cd}\\&\,\,\,+\Psi _{1}(U_{ab}W_{cd}+W_{ab}U_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{2}(V_{ab}U_{cd}+U_{ab}V_{cd}+W_{ab}W_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{3}(V_{ab}W_{cd}+W_{ab}V_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{4}V_{ab}V_{cd}+c.c.\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \{\Psi _{j}\}}$ являются Скаляры Вейля и c.c. является комплексно сопряженным. Шесть различных типов Петрова различаются по тому, какие из скаляров Вейля исчезают. Условия

• Тип I : ${\displaystyle \Psi _{0}=0}$,
• Тип II : ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=0}$,
• Тип D : ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0}$,
• Тип III : ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=0}$,
• Тип N : ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=\Psi _{3}=0}$,
• Тип O : ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0}$.

Бел критерии

Учитывая метрика на лоренцевом многообразии ${\displaystyle M}$, тензор Вейля ${\displaystyle C}$ для этой метрики может быть вычислено. Если тензор Вейля алгебраически особенный некоторые ${\displaystyle p\in M}$существует полезный набор условий, найденный Луисом (или Луи) Белом и Робертом Дебевером,^[1] для точного определения типа Петрова при ${\displaystyle p}$. Обозначив компоненты тензора Вейля при ${\displaystyle p}$ от ${\displaystyle C_{abcd}}$ (предполагается ненулевым, т. е. не типа О), Бел критерии можно сформулировать так:

• ${\displaystyle C_{abcd}}$ это тип N тогда и только тогда, когда существует вектор ${\displaystyle k(p)}$ удовлетворение

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{d}=0}$

где ${\displaystyle k}$ обязательно нулевое и уникальное (с точностью до масштабирования).

• Если ${\displaystyle C_{abcd}}$ является не тип N, тогда ${\displaystyle C_{abcd}}$ относится к типу III тогда и только тогда, когда существует вектор ${\displaystyle k(p)}$ удовлетворение

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=0={^{*}C}_{abcd}\,k^{b}k^{d}}$

где ${\displaystyle k}$ обязательно нулевое и уникальное (с точностью до масштабирования).

• ${\displaystyle C_{abcd}}$ относится к типу II тогда и только тогда, когда существует вектор ${\displaystyle k}$ удовлетворение

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}}$ и ${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}}$ (${\displaystyle \alpha \beta \neq 0}$)

где ${\displaystyle k}$ обязательно нулевое и уникальное (с точностью до масштабирования).

• ${\displaystyle C_{abcd}}$ относится к типу D тогда и только тогда, когда существует два линейно независимых вектора ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle k'}$ удовлетворяющий условиям

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}}$, ${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}}$ (${\displaystyle \alpha \beta \neq 0}$)

и

${\displaystyle C_{abcd}\,k'^{b}k'^{d}=\gamma k'_{a}k'_{c}}$, ${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k'^{b}k'^{d}=\delta k'_{a}k'_{c}}$ (${\displaystyle \gamma \delta \neq 0}$).

где ${\displaystyle {{}^{*}C}_{abcd}}$ является двойником тензора Вейля в точке ${\displaystyle p}$.

Фактически, для каждого критерия, приведенного выше, существуют эквивалентные условия для того, чтобы тензор Вейля имел этот тип. Эти эквивалентные условия сформулированы в терминах двойственного и самодуального тензора Вейля и некоторых бивекторов и собраны вместе в Hall (2004).

Критерии Беля находят применение в общей теории относительности, где определение типа алгебраически специальных тензоров Вейля по Петрову осуществляется путем поиска нулевых векторов.

Физическая интерпретация

Согласно с общая теория относительности, различные алгебраически особые типы Петрова имеют некоторые интересные физические интерпретации, причем классификацию иногда называют классификация гравитационных полей.

Тип D области связаны с гравитационными полями изолированных массивных объектов, таких как звезды. Точнее введите D поля возникают как внешнее поле гравитирующего объекта, которое полностью характеризуется его массой и угловым моментом. (Более общий объект может иметь ненулевое значение выше мультипольные моменты.) Два двойных главных нулевых направления определяют "радиально" входящий и исходящий нулевые сравнения рядом с объектом, являющимся источником поля.

В электрогравитационный тензор (или приливный тензор) в виде D область очень похожа на гравитационные поля, которые описаны в Ньютоновская гравитация по Кулон тип гравитационный потенциал. Такое приливное поле характеризуется напряжение в одном направлении и сжатие в ортогональных направлениях; собственные значения имеют вид (-2,1,1). Например, космический корабль, вращающийся вокруг Земли, испытывает крошечное растяжение по радиусу от центра Земли и крошечное сжатие в ортогональных направлениях. Как и в случае ньютоновской гравитации, это приливное поле обычно затухает как ${\displaystyle O(r^{-3})}$, где ${\displaystyle r}$ расстояние от объекта.

Если объект вращается вокруг ось, помимо приливных эффектов, будут различные гравитомагнитный эффекты, такие как спин-спиновые силы на гироскопы несет наблюдатель. в Керровский вакуум, который является наиболее известным примером типа D в вакууме эта часть поля затухает как ${\displaystyle O(r^{-4})}$.

Тип III регионы связаны с своего рода продольный гравитационное излучение. В таких регионах приливные силы имеют стрижка эффект. Этой возможностью часто пренебрегают, отчасти потому, что гравитационное излучение, возникающее в теория слабого поля это тип N, и отчасти потому, что тип III радиация распадается как ${\displaystyle O(r^{-2})}$, что быстрее, чем тип N радиация.

Тип N регионы связаны с поперечный гравитационное излучение, которое астрономы обнаружили с помощью LIGO Четверное главное нулевое направление соответствует волновой вектор описывающее направление распространения этого излучения. Обычно он распадается как ${\displaystyle O(r^{-1})}$, поэтому поле дальнего излучения имеет вид N.

Тип II регионы сочетают эффекты, указанные выше для типов D, III, и N, довольно сложным нелинейным способом.

Тип O регионы или конформно плоский области, связаны с местами, где тензор Вейля тождественно обращается в нуль. В этом случае кривизна называется чистый Риччи. В конформно плоской области любые гравитационные эффекты должны быть вызваны непосредственным присутствием материи или поле энергия некоторого негравитационного поля (например, электромагнитное поле ). В некотором смысле это означает, что любые удаленные объекты не оказывают никакого воздействия. дальнодействующее влияние о событиях в нашем регионе. Точнее, если в далеких регионах есть изменяющиеся во времени гравитационные поля, Новости еще не достигла нашей конформно-плоской области.

Гравитационное излучение испускаемый изолированной системой, обычно не будет алгебраически особенным. теорема отслаивания описывает способ, которым по мере удаления от источника излучения различные компоненты поле излучения "отклеить", пока, наконец, не набрать N излучение заметно на больших расстояниях. Это похоже на теорема об электромагнитном отслаивании.

Примеры

В некоторых (более или менее) знакомых решениях тензор Вейля в каждом событии имеет один и тот же тип Петрова:

• то Керровский вакуум везде тип D,
• определенный Пылесосы Robinson / Trautman везде типа III,
• то pp-волновые пространства-времени везде типа N,
• то Модели FLRW везде типа О.

В общем, любой сферически симметричное пространство-время должен быть типа D (или О). Все алгебраически специальные пространства-времени, имеющие различные типы тензор энергии-импульса известны, например, все виды D вакуумные растворы.

Некоторые классы решений могут быть инвариантно охарактеризованы с помощью алгебраических симметрий тензора Вейля: например, класс неконформно плоских нулевых электровакуум или нулевая пыль решения, допускающие расширяющуюся, но не перекручивающуюся нулевую конгруэнтность, и есть класс Пространства Робинсона / Траутмана. Обычно это тип II, но включить тип III и введите N Примеры.

Обобщение на более высокие измерения

A. Coley, R. Milson, V. Pravda и A. Pravdová (2004) разработали обобщение алгебраической классификации на произвольную размерность пространства-времени. ${\displaystyle d}$. Их подход использует нуль каркасная основа подход, то есть базис кадра, содержащий два нулевых вектора ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle n}$, вместе с ${\displaystyle d-2}$ пространственноподобные векторы. Компоненты каркасной основы Тензор Вейля классифицируются по своим свойствам преобразования в локальных Лоренц усиливает. Если отдельные компоненты Вейля обращаются в нуль, то ${\displaystyle l}$ и / или ${\displaystyle n}$ как говорят Нулевые направления с выравниванием по Вейлю (ЖЕЛОНЫ). В четырех измерениях, ${\displaystyle l}$ является WAND тогда и только тогда, когда это главное нулевое направление в смысле, определенном выше. Этот подход дает естественное многомерное расширение каждого из различных алгебраических типов. II,D и т.д., определенные выше.

Альтернативное, но неэквивалентное обобщение было ранее определено де Сметом (2002) на основе спинориальный подход. Однако подход де Смета ограничен только 5 измерениями.

Смотрите также

• Классификация электромагнитных полей
• Точные решения в общей теории относительности
• Классификация Сегре
• Теорема пилинга
• Тензор Плебанского

использованная литература

1. Марчелло Ортаджо (2009), Критерии Бель-Дебевера для классификации тензоров Вейля в высших измерениях.

• Coley, A .; и другие. (2004). «Классификация тензора Вейля в высших измерениях». Классическая и квантовая гравитация. 21 (7): L35 – L42. arXiv:gr-qc / 0401008. Bibcode:2004CQGra..21L..35C. Дои:10.1088 / 0264-9381 / 21/7 / L01.
• де Смет, П. (2002). «Черные дыры на цилиндрах не являются алгебраически особенными». Классическая и квантовая гравитация. 19 (19): 4877–4896. arXiv:hep-th / 0206106. Bibcode:2002CQGra..19.4877D. Дои:10.1088/0264-9381/19/19/307.
• д'Инверно, Рэй (1992). Введение в теорию относительности Эйнштейна. Оксфорд: Oxford University Press. ISBN  0-19-859686-3. См. Разделы 21.7, 21.8.
• Холл, Грэм (2004). Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности (Всемирные научные лекции по физике). Сингапур: World Scientific Pub. Co. ISBN  981-02-1051-5. См. Разделы 7.3, 7.4 для всестороннего обсуждения классификации Петрова..
• MacCallum, M.A.H. (2000). «Примечание редактора: Классификация пространств, определяющих гравитационные поля». Общая теория относительности и гравитации. 32 (8): 1661–1663. Bibcode:2000GReGr..32.1661P. Дои:10.1023 / А: 1001958823984.
• Пенроуз, Роджер (1960). «Спинорный подход к общей теории относительности». Анналы физики. 10: 171–201. Bibcode:1960АнФи..10..171П. Дои:10.1016 / 0003-4916 (60) 90021-X.
• Петров, А.З. (1954). "Классификация пространств определяющих поля тяготения". Уч. Записки Казань. Гос. Univ. 114 (8): 55–69. английский перевод Петров, А.З. (2000). «Классификация пространств, определяемых гравитационными полями». Общая теория относительности и гравитации. 32 (8): 1665–1685. Bibcode:2000GReGr..32.1665P. Дои:10.1023 / А: 1001910908054.
• Петров, А.З. (1969). Пространства Эйнштейна. Оксфорд: Пергамон. ISBN  0080123155., переведенный Р. Ф. Келлехером и Дж. Вудроу.
• Stephani, H .; Kramer, D .; MacCallum, M .; Hoenselaers, C. & Herlt, E. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-46136-7. См. Главы 4, 26.