Внутренний продукт Петерсона - Petersson inner product

В математика в Внутренний продукт Петерсона является внутренний продукт определены на пространстве всего модульные формы. Его ввел немецкий математик. Ханс Петерссон.

Определение

Позволять ${\displaystyle \mathbb {M} _{k}}$ - пространство целых модульных форм веса ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle \mathbb {S} _{k}}$ пространство бугорки.

Отображение ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {M} _{k}\times \mathbb {S} _{k}\rightarrow \mathbb {C} }$,

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\mathrm {F} }f(\tau ){\overline {g(\tau )}}(\operatorname {Im} \tau )^{k}d\nu (\tau )}$

называется внутренним продуктом Петерсона, где

${\displaystyle \mathrm {F} =\left\{\tau \in \mathrm {H} :\left|\operatorname {Re} \tau \right|\leq {\frac {1}{2}},\left|\tau \right|\geq 1\right\}}$

является фундаментальной областью модульная группа ${\displaystyle \Gamma }$ и для ${\displaystyle \tau =x+iy}$

${\displaystyle d\nu (\tau )=y^{-2}dxdy}$

- форма гиперболического объема.

Характеристики

Интеграл равен абсолютно сходящийся а внутренний продукт Петерсона - это положительно определенный Эрмитова форма.

Для Операторы Гекке ${\displaystyle T_{n}}$, а для форм ${\displaystyle f,g}$ уровня ${\displaystyle \Gamma _{0}}$, у нас есть:

${\displaystyle \langle T_{n}f,g\rangle =\langle f,T_{n}g\rangle }$

Это можно использовать, чтобы показать, что пространство куспид-форм уровня ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ имеет ортонормированный базис, состоящий из одновременных собственные функции для операторов Гекке и Коэффициенты Фурье все эти формы реальны.

Рекомендации

• Т.М. Апостол, Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел, Springer Verlag Berlin Heidelberg Нью-Йорк 1990, ISBN  3-540-97127-0
• М. Кохер, А. Криг, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN  3-540-63744-3
• С. Ланг, Введение в модульные формы, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2001, ISBN  3-540-07833-9