Идеальное кольцо

В районе абстрактная алгебра известный как теория колец, а левое идеальное кольцо это тип звенеть в котором все осталось модули имеют проективные покрытия. Правый случай определяется аналогично, и условие не является симметричным слева и справа; то есть существуют кольца, идеально подходящие с одной стороны, но не с другой. Совершенные кольца были введены в (Бас 1960 ).

А полусовершенное кольцо кольцо, над которым каждый конечно порожденный левый модуль имеет проективное покрытие. Это свойство симметрично слева направо.

Определения

Следующие эквивалентные определения совершенного слева кольца р находятся в (Андерсон, Фуллер и 1992, стр. 315. ):

Каждый левый р модуль имеет проективное покрытие.
р/ J (р) является полупростой и J (р) является левый Т-нильпотентный (то есть для любой бесконечной последовательности элементов J (р) существует п так что продукт первого п равны нулю), где J (р) это Радикал Якобсона из р.
(Теорема Басса P) р удовлетворяет состояние нисходящей цепочки о главных правых идеалах. (Нет никакой ошибки; это условие на верно главных идеалов эквивалентно тому, что кольцо оставили идеально.)
Каждый плоский оставили р-модуль проективный.
р/ J (р) полупроста и любое ненулевое левое р модуль содержит максимальный подмодуль.
р не содержит бесконечного ортогонального множества идемпотенты, и каждое ненулевое право р модуль содержит минимальный подмодуль.

Примеры

Право или лево Артинианские кольца, и полупервичные кольца известны как правые и левые совершенные.
Ниже приведен пример (из-за Баса) местное кольцо который прав, но не идеален слева. Позволять F поле, и рассмотрим некоторое кольцо бесконечные матрицы над F.

Возьмем множество бесконечных матриц с элементами, индексированными ×, и у которых есть только конечное число ненулевых элементов, все они выше диагонали, и обозначим это множество через

{ displaystyle J}

. Также возьмем матрицу

{ Displaystyle I ,}

со всеми единицами по диагонали и сформируем набор

{ Displaystyle R = {е cdot I + j mid f in F, j in J } ,}

Можно показать, что р кольцо с единицей, Радикал Якобсона является J. более того р/J это поле, так что р местный, и р правильно, но не слева идеально. (Лам и 2001, стр. 345-346. )

Характеристики

Для левого идеального кольца р:

Из эквивалентности выше, каждый левый р модуль имеет максимальный подмодуль и проективное покрытие, а плоское левое р модули совпадают с проективными левыми модулями.
Аналог Критерий Бэра выполняется для проективных модулей.^{[нужна цитата ]}

Полусовершенное кольцо

Определение

Позволять р быть кольцом. потом р является полусовершенным, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

р/ J (р) является полупростой и идемпотенты подъем по модулю J (р), где J (р) это Радикал Якобсона из р.
р имеет полный ортогональный набор е₁, ..., е_п идемпотентов с каждым е_я R e_я а местное кольцо.
Каждый просто лево право) р-модуль имеет проективное покрытие.
Каждый конечно порожденный лево право) р-модуль имеет проективное покрытие.
Категория конечно порожденных проективных ${ displaystyle R}$ -модули есть Крулль-Шмидт.

Примеры

Примеры полусовершенных колец включают:

Слева (справа) идеальные кольца.
Местные кольца.
Теорема Капланского о проективных модулях
Лево право) Артинианские кольца.
Конечномерный k-алгебры.

Характеристики

Поскольку кольцо р полусовершенно тогда и только тогда, когда каждое просто оставили р-модуль имеет проективное покрытие, каждое кольцо Эквивалент Мориты к полусовершенному кольцу также полусовершенно.

Идеальное кольцо - Perfect ring

Содержание