Замена Пайерлса - Peierls substitution

В Замена Пайерлса метод, названный в честь оригинальной работы Рудольф Пайерлс^[1] широко используемое приближение для описания крепко связанный электроны в присутствии медленно меняющегося магнитного векторного потенциала.^[2]

При наличии внешнего магнитный векторный потенциал ${\displaystyle \mathbf {A} }$ операторы трансляции, образующие кинетическую часть гамильтониана в тесный переплет рамки, просто

$${\displaystyle \mathbf {T} _{x}=|m+1,n\rangle \langle m,n|e^{i\theta _{m,n}^{x}},\quad \mathbf {T} _{y}=|m,n+1\rangle \langle m,n|e^{i\theta _{m,n}^{y}}}$$

и в второе квантование формулировка

$${\displaystyle \mathbf {T} _{x}={\boldsymbol {\psi }}_{m+1,n}^{\dagger }{\boldsymbol {\psi }}_{m,n}e^{i\theta _{m,n}^{x}},\quad \mathbf {T} _{y}={\boldsymbol {\psi }}_{m,n+1}^{\dagger }{\boldsymbol {\psi }}_{m,n}e^{i\theta _{m,n}^{y}}.}$$

Фазы определены как

$${\displaystyle \theta _{m,n}^{x}={\frac {q}{\hbar }}\int _{m}^{m+1}A_{x}(x,n){\text{d}}x,\quad \theta _{m,n}^{y}={\frac {q}{\hbar }}\int _{n}^{n+1}A_{y}(m,y){\text{d}}y.}$$

Характеристики

1. Количество квантов потока на плакетку ${\displaystyle \phi _{mn}}$ связана с ротором решетки фазового фактора:
   $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\times \theta _{m,n}&=\Delta _{x}\theta _{m,n}^{y}-\Delta _{y}\theta _{m,n}^{x}=\left(\theta _{m+1,n}^{y}-\theta _{m,n}^{y}-\theta _{m,n+1}^{x}+\theta _{m,n}^{x}\right)\\&={\frac {q}{\hbar }}\int _{\text{unit cell}}\mathbf {A} \cdot {\text{d}}\mathbf {l} =2\pi {\frac {q}{h}}\int \mathbf {B} \cdot {\text{d}}\mathbf {s} =2\pi \phi _{m,n}\end{aligned}}}$$
   а полный поток через решетку равен ${\textstyle \Phi =\Phi _{0}\sum _{m,n}\phi _{m,n}}$ с ${\displaystyle \Phi _{0}=hc/e}$ квант магнитного потока в Гауссовы единицы.
2. Кванты потока на плакетку ${\displaystyle \phi _{mn}}$ связано с накопленной фазой одночастичного состояния, ${\displaystyle |\psi \rangle ={\boldsymbol {\psi }}_{i,j}|0\rangle }$ вокруг плакетки:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{y}^{\dagger }\mathbf {T} _{x}^{\dagger }\mathbf {T} _{y}\mathbf {T} _{x}|\psi \rangle &=\mathbf {T} _{y}^{\dagger }\mathbf {T} _{x}^{\dagger }\mathbf {T} _{y}|i+1,j\rangle e^{i\theta _{i,j}^{x}}=\mathbf {T} _{y}^{\dagger }\mathbf {T} _{x}^{\dagger }|i+1,j+1\rangle e^{i\left(\theta _{i,j}^{x}+\theta _{i+1,j}^{y}\right)}\\&=\mathbf {T} _{y}^{\dagger }|i,j+1\rangle e^{i\left(\theta _{i,j}^{x}+\theta _{i+1,j}^{y}-\theta _{i,j+1}^{x}\right)}=|i,j\rangle e^{i\left(\theta _{i,j}^{x}+\theta _{i+1,j}^{y}-\theta _{i,j+1}^{x}-\theta _{i,j}^{y}\right)}=|i,j\rangle e^{i2\pi \phi _{m,n}}.\end{aligned}}}$$

Обоснование

Здесь мы приводим три вывода подстановки Пайерлса, каждый из которых основан на другой формулировке теории квантовой механики.

Аксиоматический подход

Здесь мы даем простой вывод замены Пайерлса, который основан на «Лекциях Фейнмана» (том III, глава 21).^[3] Этот вывод постулирует, что магнитные поля включены в модель сильной связи путем добавления фазы к прыжковым членам и показывают, что это согласуется с гамильтонианом континуума. Таким образом, наша отправная точка - это Гамильтониан Хофштадтера:^[2]

$${\displaystyle H_{0}=\sum _{m,n}{\bigg (}-te^{i\theta _{m,n}^{x}}\vert m\!+\!a,n\rangle \langle m,n\vert -te^{i\theta _{m,n}^{y}}\vert m,n\!+\!a\rangle \langle m,n\vert -\epsilon _{0}\vert m,n\rangle \langle m,n\vert {\bigg )}+{\text{h.c}}.}$$

Оператор перевода ${\displaystyle \vert m+1\rangle \langle m\vert }$ можно явно записать, используя его генератор, то есть оператор импульса. При таком представлении его легко расширить до второго порядка,

$${\displaystyle \vert m\!+\!a\rangle \langle m\vert =\exp {{\bigg (}\!-\!{\frac {i\mathbf {p} _{x}a}{\hbar }}{\bigg )}}\vert m\rangle \langle m\vert =\left(1-{\frac {i\mathbf {p} _{x}}{\hbar }}a-{\frac {\mathbf {p} _{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}a^{2}+{\mathcal {O}}(a^{3})\right)\vert m\rangle \langle m\vert }$$

а в двумерной решетке ${\displaystyle \vert m\!+\!a\rangle \langle m\vert \longrightarrow \vert m\!+\!a,n\rangle \langle m,n\vert }$. Затем мы расширяем фазовые множители до второго порядка, предполагая, что векторный потенциал существенно не меняется на одном шаге решетки (который считается малым).

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=1+i\theta -{\frac {1}{2}}\theta ^{2}+{\mathcal {O}}(\theta ^{3}),\\\theta &\approx {\frac {aqA_{x}}{\hbar }},\\e^{i\theta }&=1+{\frac {iaqA_{x}}{\hbar }}-{\frac {a^{2}q^{2}A_{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}+{\mathcal {O}}(a^{3}).\end{aligned}}}$$

Подставляя эти разложения в соответствующую часть гамильтониана, получаем

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }\vert m+a\rangle \langle m\vert +e^{-i\theta }\vert m\rangle \langle m+a\vert &={\bigg (}1+{\frac {iaqA_{x}}{\hbar }}-{\frac {a^{2}q^{2}A_{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}{\bigg (}1-{\frac {i\mathbf {p} _{x}}{\hbar }}a-{\frac {\mathbf {p} _{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}a^{2}+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}\vert m\rangle \langle m\vert +{\text{h.c}}\\&={\bigg (}2-{\frac {\mathbf {p} _{x}^{2}}{\hbar ^{2}}}a^{2}+{\frac {q\lbrace \mathbf {p} _{x},A_{x}\rbrace }{\hbar ^{2}}}a^{2}-{\frac {q^{2}A_{x}^{2}}{\hbar ^{2}}}a^{2}+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}\vert m\rangle \langle m\vert \\&={\bigg (}-{\frac {a^{2}}{\hbar ^{2}}}{\big (}\mathbf {p} _{x}-qA_{x}{\big )}^{2}+2+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}\vert m\rangle \langle m\vert .\end{aligned}}}$$

Обобщая последний результат на двумерный случай, мы приходим к гамильтониану Хофштадтера в континуальном пределе:

${\displaystyle H_{0}={\frac {1}{2m}}{\big (}\mathbf {p} -q\mathbf {A} {\big )}^{2}+{\tilde {\epsilon _{0}}}}$

где эффективная масса ${\displaystyle m=\hbar ^{2}/2ta^{2}}$ и ${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}_{0}=\epsilon _{0}-4}$.

Полуклассический подход

Здесь мы показываем, что фазовый фактор Пайерлса возникает из-за пропагатора электрона в магнитном поле из-за динамического члена ${\displaystyle q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} }$ в лагранжиане. в формализм интеграла по путям, который обобщает принцип действия классической механики, амплитуда перехода с участка ${\displaystyle j}$ вовремя ${\displaystyle t_{j}}$ на сайт ${\displaystyle i}$ вовремя ${\displaystyle t_{i}}$ дан кем-то

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} _{i},t_{i}|\mathbf {r} _{j},t_{j}\rangle =\int _{\mathbf {r} (t_{i})}^{\mathbf {r} (t_{j})}{\mathcal {D}}[\mathbf {r} (t)]e^{{\frac {\rm {i}}{\hbar }}{\mathcal {S}}(\mathbf {r} )},}$$

где оператор интегрирования, ${\displaystyle \int _{\mathbf {r} (t_{i})}^{\mathbf {r} (t_{j})}{\mathcal {D}}[\mathbf {r} (t)]}$ обозначает сумму по всем возможным путям из ${\displaystyle \mathbf {r} (t_{i})}$ к ${\displaystyle \mathbf {r} (t_{j})}$ и ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {r} _{ij}]=\int _{t_{i}}^{t_{j}}L[\mathbf {r} (t),{\dot {\mathbf {r} }}(t),t]\mathrm {d} t}$ классический действие, который является функционалом, аргументом которого является траектория. Мы используем ${\displaystyle \mathbf {r} _{ij}}$ обозначить траекторию с концами в ${\displaystyle r(t_{i}),r(t_{j})}$. Лагранжиан системы можно записать как

$${\displaystyle L=L^{(0)}+q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} ,}$$

куда ${\displaystyle L^{(0)}}$ - лагранжиан в отсутствие магнитного поля. Соответствующее действие гласит

$${\displaystyle S[\mathbf {r} _{ij}]=S^{(0)}[\mathbf {r} _{ij}]+q\int _{t_{i}}^{t_{j}}dt\left({\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}\right)\cdot \mathbf {A} =S^{(0)}[\mathbf {r} _{ij}]+q\int _{\mathbf {r} _{ij}}\mathbf {A} \cdot {\text{d}}\mathbf {r} }$$

Теперь, предполагая, что только один путь дает сильный вклад, мы имеем

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} _{i},t_{i}|\mathbf {r} _{j},t_{j}\rangle =e^{{\frac {iq}{\hbar }}\int _{\mathbf {r} _{c}}\mathbf {A} \cdot {\text{d}}\mathbf {r} }\int _{\mathbf {r} (t_{i})}^{\mathbf {r} (t_{j})}{\mathcal {D}}[\mathbf {r} (t)]e^{{\frac {\rm {i}}{\hbar }}{\mathcal {S}}^{(0)}[\mathbf {r} ]}}$$

Следовательно, амплитуда перехода электрона под действием магнитного поля равна амплитуде перехода в отсутствие магнитного поля, умноженной на фазу.

Строгий вывод

Гамильтониан дается формулой

$${\displaystyle H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+U\left(\mathbf {r} \right),}$$

куда ${\displaystyle U\left(\mathbf {r} \right)}$ - потенциальный ландшафт, обусловленный кристаллической решеткой. Теорема Блоха утверждает, что решение проблемы:${\displaystyle H\Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=E\left(\mathbf {k} \right)\Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$, следует искать в форме блоховской суммы

$${\displaystyle \Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\phi _{\mathbf {R} }\left(\mathbf {r} \right),}$$

куда ${\displaystyle N}$ - количество элементарных ячеек, а ${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }}$ известны как Функции Ванье. Соответствующие собственные значения ${\displaystyle E\left(\mathbf {k} \right)}$, которые образуют полосы в зависимости от импульса кристалла ${\displaystyle \mathbf {k} }$, получаются вычислением матричного элемента

$${\displaystyle E\left(\mathbf {k} \right)=\int d\mathbf {r} \ \Psi _{\mathbf {k} }^{*}(\mathbf {r} )H\Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {R} \mathbf {R} ^{\prime }}e^{i\mathbf {k} \left(\mathbf {R} ^{\prime }-\mathbf {R} \right)}\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} }^{*}\left(\mathbf {r} \right)H\phi _{\mathbf {R} ^{\prime }}\left(\mathbf {r} \right)}$$

и в конечном итоге зависят от интегралов перескока, зависящих от материала

$${\displaystyle t_{12}=-\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} _{1}}^{*}\left(\mathbf {r} \right)H\phi _{\mathbf {R} _{2}}\left(\mathbf {r} \right).}$$

В присутствии магнитного поля гамильтониан меняется на

$${\displaystyle {\tilde {H}}(t)={\frac {\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} (t)\right)^{2}}{2m}}+U\left(\mathbf {r} \right),}$$

куда ${\displaystyle q}$ - заряд частицы. Чтобы исправить это, рассмотрите возможность изменения функций Ванье на

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )=e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot dr'}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} ),\end{aligned}}}$$

куда ${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }\equiv {\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {A} \to 0)}$. Это делает новые волновые функции Блоха

$${\displaystyle {\tilde {\Psi }}_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {r} ),}$$

в собственные состояния полного гамильтониана в момент времени ${\displaystyle t}$, с той же энергией, что и раньше. Чтобы увидеть это, мы сначала используем ${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }$ написать

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {H}}(t){{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )}&=\left[{\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t))^{2}}{2m}}+U(\mathbf {r} )\right]e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )\\&=e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }A(\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}\left[{\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t))^{2}}{2m}}+U(\mathbf {r} )\right]\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )\\&=e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }A(\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}H\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} ).\end{aligned}}}$$

Затем, когда мы вычисляем интеграл перескока в квазиравновесии (предполагая, что векторный потенциал изменяется медленно)

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {t}}_{\mathbf {R} \mathbf {R} '}(t)&=-\int d\mathbf {r} \ {\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {r} ){\tilde {H}}(t){\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} '}(\mathbf {r} )\\&=-\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )e^{i{\frac {q}{\hbar }}\left[-\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '+\int _{\mathbf {R} '}^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '\right]}H\phi _{\mathbf {R} '}(\mathbf {r} )\\&=-e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} '}^{\mathbf {R} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )e^{i{\frac {q}{\hbar }}\Phi _{\mathbf {R} ',\mathbf {r} ,\mathbf {R} }}H\phi _{\mathbf {R} '}(\mathbf {r} ),\end{aligned}}}$$

где мы определили ${\displaystyle \Phi _{\mathbf {R} ',\mathbf {r} ,\mathbf {R} }=\oint _{\mathbf {R} '\to \mathbf {r} \to \mathbf {R} \to \mathbf {R} '}\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}$, поток через треугольник, создаваемый тремя позиционными аргументами. Поскольку мы предполагаем ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$ приблизительно однородна в масштабе решетки^[4] - масштаб, на котором состояния Ванье локализуются в положениях ${\displaystyle \mathbf {R} }$ - мы можем приблизить ${\displaystyle \Phi _{\mathbf {R} ,\mathbf {r} ,\mathbf {R} '}\approx 0}$, давая желаемый результат,

$${\displaystyle {\tilde {t}}_{\mathbf {R} \mathbf {R} '}(t)\approx t_{\mathbf {R} \mathbf {R} '}e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} '}^{\mathbf {R} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}.}$$

Следовательно, матричные элементы такие же, как и в случае без магнитного поля, за исключением взятого фазового фактора, который обозначается фазовым фактором Пайерлса. Это чрезвычайно удобно, поскольку тогда мы можем использовать одни и те же параметры материала независимо от значения магнитного поля, а учет соответствующей фазы в вычислительном отношении тривиален. Для электронов (${\displaystyle q=-e}$) это означает замену скачкообразного члена ${\displaystyle t_{ij}}$ с ${\displaystyle t_{ij}e^{-i{\frac {e}{\hbar }}\int _{i}^{j}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {l} }}$^[4][5][6][7]

Рекомендации

1. Пайерлс, Р. (1933). «К теории диамагнетизма электронов проводимости». Z. Phys. 80: 763–791. Bibcode:1933ZPhy ... 80..763P. Дои:10.1007 / bf01342591.
2. Хофштадтер, Дуглас Р. (сентябрь 1976 г.). «Уровни энергии и волновые функции блоховских электронов в рациональных и иррациональных магнитных полях». Phys. Ред. B. 14 (6): 2239–2249. Bibcode:1976PhRvB..14.2239H. Дои:10.1103 / PhysRevB.14.2239.
3. Фейнман Ричард П. Сэндс Мэтью Л. Лейтон Роберт Б.; Ричард Филлипс Фейнман; Роберт Б. Лейтон; Мэтью Линзи Сэндс (25 ноября 2013 г.). Лекции Фейнмана по физике, настольное издание, том III: издание нового тысячелетия. Основные книги. С. 9–. ISBN  978-0-465-07997-1.
4. Латтинджер, Дж. М. (ноябрь 1951 г.). «Влияние магнитного поля на электроны в периодическом потенциале». Phys. Rev. 84 (4): 814–817. Bibcode:1951ПхРв ... 84..814Л. Дои:10.1103 / PhysRev.84.814.
5. Кон, Уолтер (сентябрь 1959). "Теория блоховских электронов в магнитном поле: эффективный гамильтониан". Phys. Rev. 115 (6): 1460–1478. Bibcode:1959ПхРв..115.1460К. Дои:10.1103 / PhysRev.115.1460.
6. Блаунт, Э. И. (июнь 1962 г.). «Блоховские электроны в магнитном поле». Phys. Rev. 126 (5): 1636–1653. Bibcode:1962ПхРв..126.1636Б. Дои:10.1103 / PhysRev.126.1636.
7. Ванье, Грегори Х. (октябрь 1962 г.). «Динамика зонных электронов в электрическом и магнитном полях». Ред. Мод. Phys. 34 (4): 645–655. Bibcode:1962РвМП ... 34..645Вт. Дои:10.1103 / RevModPhys.34.645.