Математическая теорема, используемая в численном анализе
В числовой анализ, то Теорема Пеано о ядре является общим результатом по оценкам ошибок для широкого класса численных приближений (таких как числовые квадратуры ), определенный в терминах линейные функционалы. Это приписывается Джузеппе Пеано.[1]
утверждение
Позволять быть пространством для всех дифференцируемые функции определены для которые из ограниченная вариация на , и разреши быть линейный функционал на . Предположить, что является раз непрерывно дифференцируемый и это уничтожает все многочлены степени , т.е.
Предположим далее, что для любого
двумерная функция с
, допустимо следующее:
и определить
Ядро Пеано из
так как
введение обозначений
В
Теорема Пеано о ядре затем заявляет, что
предоставлена
.
[1][2]Границы
Несколько оценок стоимости следуют из этого результата:
куда , и являются такси, Евклидово и максимум нормы соответственно.[2]
Заявление
На практике основное применение теоремы Пеано о ядре состоит в том, чтобы ограничить ошибку приближения, которая является точной для всех . Утвержденная выше теорема следует из Полином Тейлора за с целым остатком:
определение в качестве ошибки аппроксимации, используя линейность из вместе с точностью для чтобы уничтожить все, кроме последнего члена в правой части, и используя обозначение для удаления -зависимость от интегральных пределов.[3]
Смотрите также
Рекомендации