Модель урны Pólya - Pólya urn model

В статистика, а Модель урны Pólya (также известный как Схема урны Pólya или просто как Урна Поли), названный в честь Георгий Полиа, это тип статистическая модель используется как идеализированный умственное упражнение каркас, объединяющий множество процедур.

В модель урны объекты, представляющие реальный интерес (например, атомы, люди, автомобили и т. д.), представлены в виде цветных шариков в урна или другой контейнер. В базовой модели урны Pólya урна содержит Икс белый и у черные шары; из урны случайным образом извлекается один шар и наблюдается его цвет; затем он возвращается в урну, и в урну добавляется дополнительный шар того же цвета, и процесс выбора повторяется. Интересными вопросами являются эволюция популяции урн и последовательность цветов вытянутых шаров.

Это наделяет урну самоусиливающимся свойством, которое иногда выражается как богатые становятся богаче.

Обратите внимание, что в некотором смысле модель урны Полиа является «противоположностью» модели отбор проб без замены, где каждый раз, когда наблюдается определенное значение, маловероятно, что оно будет наблюдаться снова, тогда как в модели урны Полиа наблюдаемое значение более вероятно, будет наблюдаться снова. В обеих этих моделях акт измерения влияет на результат будущих измерений. (Для сравнения, когда отбор проб с заменой, наблюдение определенного значения не влияет на вероятность повторного наблюдения этого значения.) В модели урны Полиа последовательные измерения во времени все меньше и меньше влияют на будущие измерения, тогда как при отборе образцов без замены происходит обратное. верно: после определенного количества измерений определенного значения это значение больше никогда не будет отображаться.

Одна из причин интереса к этот конкретный довольно сложная модель урны (т.е. с дублированием и последующей заменой каждого нарисованного шара) заключается в том, что она дает пример, в котором счет (первоначально Икс черный и у белый) шаров в урне нет скрытый, который может приблизить правильное обновление субъективный вероятности, соответствующие разные случай, когда исходное содержимое урны является скрыто, пока проводится обычный отбор проб с заменой (без дублирования шарика Pólya). Из-за простой схемы "выборки с заменой" во втором случае содержимое урны теперь статический, но эта большая простота компенсируется предположением, что содержимое урны теперь неизвестный наблюдателю. А Байесовский анализ неопределенности наблюдателя относительно начального содержимого урны можно определить, используя особый выбор (сопряженного) предшествующего распределения. В частности, предположим, что наблюдатель знает, что урна содержит только одинаковые шары, каждый из которых окрашен в черный или белый цвет, но он не знает ни абсолютного числа присутствующих шаров, ни пропорции, которые принадлежат каждому цвету. Предположим, что он придерживается априорных убеждений относительно этих неизвестных: для него распределение вероятностей содержимого урны хорошо аппроксимируется некоторым априорным распределением для общего количества шаров в урне и априорным бета-распределением с параметрами (х, у) для первоначальной доли тех, которые являются черными, эта пропорция (для него) считается приблизительно независимой от общего числа. Тогда процесс исходов последовательности розыгрышей из урны (с заменой, но без дублирования) имеет примерно такой же вероятностный закон как и вышеупомянутая схема Pólya, в которой фактическое содержимое урны не было скрыто от него. Ошибка аппроксимации здесь связана с тем, что урна, содержащая известное конечное число м мячей, конечно, не может быть точно неизвестная пропорция черных шаров с бета-распределением, поскольку область возможных значений этой пропорции ограничена кратными ${\displaystyle 1/m}$, вместо того, чтобы иметь полную свободу принимать любое значение в непрерывном единичном интервале, как если бы точно бета-распределенная пропорция. Этот слегка неформальный отчет приводится для мотивации и может быть сделан более математически точным.

Этот основной Модель урны Pólya был обогащен и обобщен во многих отношениях.

Распределения, связанные с урной Полиа

• бета-биномиальное распределение: Распределение количества успешных розыгрышей (попыток), например количество извлечений белого шара, заданное ${\displaystyle n}$ извлекает из урны Pólya.
• Дирихле-полиномиальное распределение (также известный как многомерное распределение Полиа): Распределение по количеству шаров каждого цвета, заданное ${\displaystyle n}$ извлекает из урны Pólya, где есть ${\displaystyle k}$ разные цвета вместо двух.
• мартингалы, то Бета-биномиальное распределение и бета-распространение: Позволять ш и б - количество белых и черных шаров в урне изначально, и ${\displaystyle w+n_{w}}$ количество белых шаров в урне после п рисует. Тогда последовательность значений ${\displaystyle {\frac {w+n_{w}}{w+b+n}}}$ за ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ это нормализованная версия Бета-биномиальное распределение. Это мартингейл и сходится к бета-распространение когда п → ∞.
• Процесс Дирихле, Китайский ресторанный процесс, Урна Хоппе: Представьте себе модифицированную схему урны Pólya следующим образом. Начнем с урны с ${\displaystyle \alpha }$ черные шары. При извлечении шара из урны, если мы рисуем черный шар, положите его обратно вместе с новым шаром нового не черного цвета, случайно сгенерированным из равномерное распределение по бесконечному набору доступных цветов и считайте вновь созданный цвет «ценностью» розыгрыша. В противном случае положите мяч обратно вместе с другим мячом того же цвета, что и для стандартной урны Pólya. Цвета бесконечной последовательности розыгрышей из этой модифицированной схемы урны Pólya следуют Китайский ресторанный процесс. Если вместо генерации нового цвета мы извлекаем случайное значение из заданного базового распределения и используем это значение для маркировки мяча, метки бесконечной последовательности розыгрышей следуют за Процесс Дирихле.^[1]
• Модель Морана: Модель урны, используемая для моделирования генетический дрейф в теоретической популяционная генетика. Это очень похоже на модель урны Pólya, за исключением того, что, помимо добавления нового шара того же цвета, из урны удаляется случайно вытянутый шар. Таким образом, количество шаров в урне остается постоянным. Затем продолжающийся отбор образцов приводит в конечном итоге к урне со всеми шарами одного цвета, причем вероятность каждого цвета является долей этого цвета в исходной урне. Существуют варианты модели Морана, которые настаивают на том, чтобы мяч, извлеченный из урны, отличался от мяча, изначально взятого на этом этапе, и варианты, которые удаляют мяч сразу после того, как новый мяч помещается в урну, так что новый шар - один из шариков, доступных для удаления. Это немного влияет на время, необходимое для достижения состояния, в котором все шары одного цвета. Процесс Морана моделирует генетический дрейф в популяции с перекрывающимися поколениями.

Смотрите также

• Процесс Питмана – Йорка
• Процесс Морана
• Йольский процесс

Рекомендации

1. Хоппе, Фред (1984). «Урны, похожие на Полиа, и формула отбора проб Эвенса». Журнал математической биологии. 20: 91. Дои:10.1007 / BF00275863. HDL:2027.42/46944.

дальнейшее чтение

• Ф. Аладжаджи и Т. Фуджа, "Канал связи, созданный на основе заражения", IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 40, стр. 2035–2041, ноябрь 1994 г.
• А. Банерджи, П. Бурлина и Ф. Аладжаджи, «Сегментация изображений и маркировка с использованием модели урны Полиа», IEEE Transactions on Image Processing, Vol. 8, No. 9, pp. 1243–1253, сентябрь 1999 г.

Библиография

• Н.Л. Джонсон и С. Котц, (1977) «Модели урн и их применение». Джон Вили.
• Хосам Махмуд, (2008) «Модели урн Полиа». Чепмен и Холл / CRC. ISBN  978-1420059830.