Оскулирующая кривая - Osculating curve

«Оскуляция» перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. Osculate (значения).
Кривая C содержащий точку п где радиус кривизны равно р, вместе с касательной и соприкасающимся кругом, касающимся C в п

В дифференциальная геометрия, соприкасающаяся кривая это плоская кривая из данной семьи, которая имеет максимально возможный порядок контакт с другой кривой, т. е. если F это семья плавные кривые, C - гладкая кривая (вообще говоря, не принадлежащая F), и п это точка на C, то соприкасающаяся кривая от F в п кривая от F что проходит через п и имеет столько же своих производные в п равны производным от C насколько возможно.[1][2]

Термин происходит от латинского корня «osculate», чтобы целовать, потому что две кривые соприкасаются друг с другом более тесным образом, чем простое касание.[3]

Примеры

Примеры соприкасающихся кривых разного порядка включают:

  • В касательная линия к кривой C в какой-то момент п, соприкасающаяся кривая из семейства прямые линии. Касательная линия имеет свою первую производную (склон ) с C и поэтому имеет контакт первого порядка с C.[1][2][4]
  • В соприкасающийся круг к C в п, соприкасающаяся кривая из семейства круги. У соприкасающегося круга есть как первая, так и вторая производные (эквивалентно, его наклон и кривизна ) с C.[1][2][4]
  • Соприкасающаяся парабола C в п, соприкасающаяся кривая из семейства параболы, имеет контакт третьего порядка с C.[2][4]
  • Прикосновение конуса к C в п, соприкасающаяся кривая из семейства конические секции, имеет контакт четвертого порядка с C.[2][4]

Обобщения

Концепция оскуляции может быть обобщена на пространства более высоких измерений и на объекты, которые не являются кривыми внутри этих пространств. Например, соприкасающаяся плоскость к пространственная кривая плоскость, контактирующая с кривой второго порядка. Это максимально высокий порядок, который возможен в общем случае.[5]

Говорят, что в одном измерении аналитические кривые соприкасаются в точке, если они разделяют первые три члена своего Расширение Тейлора об этом. Эту концепцию можно обобщить на суперскуляция, в котором две кривые имеют больше общего, чем первые три члена их разложения Тейлора.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c Раттер, Дж. У. (2000), Геометрия кривых, CRC Press, стр. 174–175, ISBN  9781584881667.
  2. ^ а б c d е Уильямсон, Бенджамин (1912), Элементарный трактат по дифференциальному исчислению: содержащий теорию плоских кривых с многочисленными примерами, Лонгманс, Грин, стр. 309.
  3. ^ Макс, Блэк (1954–1955), «Метафора», Труды Аристотелевского общества, Н.С., 55: 273–294. Перепечатано в Джонсон, Марк, изд. (1981), Философские взгляды на метафору, University of Minnesota Press, стр. 63–82, ISBN  9780816657971. С. 69.: «Оскулирующие кривые целуются недолго и быстро возвращаются к более прозаичному математическому контакту».
  4. ^ а б c d Тейлор, Джеймс Морфорд (1898), Элементы дифференциального и интегрального исчисления: с примерами и приложениями, Ginn & Company, стр. 109–110..
  5. ^ Крейсциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия, Математические выставки Университета Торонто, 11, Courier Dover Publications, стр. 32–33, ISBN  9780486667218.