Ортогональное преобразование - Orthogonal transformation

В линейная алгебра, ортогональное преобразование это линейное преобразование Т : V → V на настоящий внутреннее пространство продукта V, который сохраняет внутренний продукт. То есть для каждой пары ты, v элементовV, у нас есть^[1]

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle Tu,Tv\rangle \,.}$

Поскольку длины векторов и углы между ними определяются через внутреннее произведение, ортогональные преобразования сохраняют длины векторов и углы между ними. В частности, отображение ортогональных преобразований ортонормированные базы к ортонормированным базам.

Ортогональные преобразования инъективный: если ${\displaystyle Tv=0}$ тогда ${\displaystyle 0=\langle Tv,Tv\rangle =\langle v,v\rangle }$, следовательно ${\displaystyle v=0}$, Итак ядро из ${\displaystyle T}$ тривиально.

Ортогональные преобразования в двух- или трехкомпонентномразмерный Евклидово пространство жесткие вращения, размышления, или комбинации поворота и отражения (также известные как неправильные вращения ). Отражения - это преобразования, которые меняют направление спереди назад, ортогональное плоскости зеркала, как это делают (в реальном мире) зеркала. В матрицы соответствующие собственным поворотам (без отражения) имеют детерминант +1. Преобразования с отражением представлены матрицами с определителем −1. Это позволяет обобщить концепцию вращения и отражения на более высокие измерения.

В конечномерных пространствах матричное представление (относительно ортонормированный базис ) ортогонального преобразования является ортогональная матрица. Его строки являются взаимно ортогональными векторами с единичной нормой, так что строки составляют ортонормированный базисV. Столбцы матрицы образуют другой ортонормированный базисV.

Если ортогональное преобразование обратимый (что всегда бывает, когда V конечномерно), то обратное ему - другое ортогональное преобразование. Его матричное представление является транспонированным матричным представлением исходного преобразования.

Примеры

Рассмотрим внутреннее пространство продукта ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ со стандартным евклидовым внутренним произведением и стандартной основой. Тогда матричное преобразование

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

ортогонален. Чтобы увидеть это, рассмотрим

${\displaystyle {\begin{aligned}Te_{1}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}}&&Te_{2}={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle Te_{1},Te_{1}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}}=\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1\\&\langle Te_{1},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin(\theta )\cos(\theta )-\sin(\theta )\cos(\theta )=0\\&\langle Te_{2},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1\\\end{aligned}}}$

Предыдущий пример можно расширить, чтобы построить все ортогональные преобразования. Например, следующие матрицы определяют ортогональные преобразования на ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}\cos(\theta )&0&-\sin(\theta )\\0&1&0\\\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$

Смотрите также

• Неправильное вращение
• Линейное преобразование
• Ортогональная матрица
• Унитарное преобразование

Рекомендации

1. Роуленд, Тодд. «Ортогональное преобразование». MathWorld. Получено 4 мая 2012.