Оптическая теорема - Optical theorem

В физика, то оптическая теорема это общий закон волна теория рассеяния, который связывает форвард амплитуда рассеяния в целом поперечное сечение рассеивателя.^[1] Обычно записывается в виде

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {tot} }={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} \,f(0),}$

куда ж(0) - это амплитуда рассеяния с нулевым углом, то есть амплитуда волны, рассеянной до центра далекого экрана, и k это волновой вектор в направлении падения.

Поскольку оптическая теорема выводится с использованием только сохранение энергии, или в квантовая механика из сохранение вероятности, оптическая теорема широко применима и в квантовая механика, ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {tot} }}$ включает оба эластичный и неупругое рассеяние.

В обобщенная оптическая теорема, впервые полученный Вернер Гейзенберг, учитывает произвольные исходящие направления k ':

${\displaystyle \int f(\mathbf {\hat {k}} ',\mathbf {\hat {k}} '')f(\mathbf {\hat {k}} '',\mathbf {\hat {k}} )~d\mathbf {\hat {k}} ''={\frac {4\pi }{k}}\mathrm {Im} ~f(\mathbf {\hat {k}} ',\mathbf {\hat {k}} ).}$

Исходная оптическая теорема восстанавливается, если ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} '=\mathbf {\hat {k}} }$.

История

Оптическая теорема была первоначально разработана независимо Вольфгангом Зельмайером.^[2] и Лорд Рэйли в 1871 г.^[3] Лорд Рэйли узнал нападающего амплитуда рассеяния с точки зрения показатель преломления в качестве

${\displaystyle n=1+2\pi {\frac {Nf(0)}{k^{2}}}}$

(куда N - числовая плотность рассеивателей), которую он использовал при исследовании цвета и поляризации неба.

Позднее это уравнение было распространено на квантовую теорию рассеяния несколькими людьми и стало известно как Соотношение Бора – Пайерлса – Плачека после статьи 1939 года. Впервые она была названа «оптической теоремой» в печати 1955 г. Ганс Бете и Фредерик де Хоффманн, после того как она некоторое время была известна как «хорошо известная теорема оптики».

Вывод

Теорема может быть получена довольно непосредственно из рассмотрения скаляр волна. Если плоская волна падает на объект вдоль положительной оси z, то амплитуда волны на большом расстоянии от рассеивателя приблизительно определяется выражением

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}.}$

Все более высокие члены в квадрате исчезают быстрее, чем ${\displaystyle 1/r^{2}}$, и поэтому пренебрежимо малы на большом расстоянии. Для больших значений ${\displaystyle z}$ а для малых углов a Расширение Тейлора дает нам

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\approx z+{\frac {x^{2}+y^{2}}{2z}}.}$

Теперь мы хотели бы использовать тот факт, что интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды ${\displaystyle \psi }$. Приблизительный ${\displaystyle 1/r}$ в качестве ${\displaystyle 1/z}$, у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi |^{2}&\approx \left|e^{ikz}+{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ikz}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\right|^{2}\\&=1+{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}+{\frac {f^{*}(\theta )}{z}}e^{-ik(x^{2}+y^{2})/2z}+{\frac {|f(\theta )|^{2}}{z^{2}}}.\end{aligned}}}$

Если мы отбросим ${\displaystyle 1/z^{2}}$ термин и использовать тот факт, что ${\displaystyle c+c^{*}=2\operatorname {Re} {c}}$, у нас есть

${\displaystyle |\psi |^{2}\approx 1+2\operatorname {Re} {\left[{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\right]}.}$

Теперь предположим, что мы интегрировать над экраном далеко в ху плоскости, которая достаточно мала, чтобы подходили малоугловые приближения, но достаточно велика, чтобы мы могли интегрировать интенсивность по ${\displaystyle -\infty }$ к ${\displaystyle \infty }$ в Икс и у с незначительной ошибкой. В оптика, это эквивалентно суммированию по многим дифракция шаблон. Чтобы еще больше упростить дело, давайте приблизим ${\displaystyle f(\theta )=f(0)}$. Мы получаем

${\displaystyle \int |\psi |^{2}\,dx\,dy\approx A+2\operatorname {Re} \left[{\frac {f(0)}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikx^{2}/2z}dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{iky^{2}/2z}dy\right],}$

куда А - площадь интегрированной поверхности. Хотя это несобственные интегралы, подходящими подстановками экспоненты можно преобразовать в комплексные Гауссианы и определенные интегралы вычислены, в результате чего:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int |\psi |^{2}\,da&=A-2\operatorname {Re} \left[{\frac {f(0)}{z}}\,{\frac {2\pi z}{ik}}\right]\\&=A-{\frac {4\pi }{k}}\,\operatorname {Im} [f(0)].\end{aligned}}}$

Это вероятность достичь экрана, если ни один из них не рассыпается, уменьшенная на величину ${\displaystyle (4\pi /k)\operatorname {Im} [f(0)]}$, что, следовательно, является эффективным рассеянием поперечное сечение рассеивателя.

Смотрите также

• S-матрица

Рекомендации

1. «Поперечное сечение радара, оптическая теорема, приближение физической оптики, излучение линейных источников» на YouTube
2. В оригинальной публикации не упоминается его имя, что, однако, можно сделать из нескольких других публикаций, опубликованных им в том же журнале. Один веб-источник сообщает, что он был бывшим студентом Франц Эрнст Нойман. В остальном о Сельмайере почти ничего не известно.
3. Стратт, Дж. У. (1871). XV. О свете с неба, его поляризации и цвете. Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал, 41 (271), 107–120.

• Роджер Дж. Ньютон (1976). «Оптическая теорема и не только». Являюсь. J. Phys. 44 (7): 639–642. Bibcode:1976AmJPh..44..639N. Дои:10.1119/1.10324.
• Джон Дэвид Джексон (1999). Классическая электродинамика. Гамильтон Типография. ISBN  0-471-30932-X.