Шансы - Odds

Шансы обеспечить меру вероятности конкретного результата. Они рассчитываются как отношение количества событий, которые приводят к результату, к количеству событий, которые не приводят. Коэффициенты обычно используются в азартные игры и статистика.

Шансы можно продемонстрировать, исследуя броски шестигранной кости. Вероятность выпадения 6 составляет 1: 5. Вероятность выпадения 5 или 6 составляет 2: 4 или упрощенно 1: 2. Шансы на то, что не выпадет 5 или 6, обратны 2: 1. Вероятность события разная, но взаимосвязанная и может быть рассчитана исходя из шансов, и наоборот. Вероятность выпадения 5 или 6 - это доля количества событий от общего числа событий или 2 / (2 + 4), что составляет 1/3, 0,33 или 33%.^[1]

При игре в азартные игры шансы часто представляют собой отношение выигрыша к ставке, и вы также получаете обратно свою ставку. Таким образом, ставка 1 при 1: 5 дает 6 (5 + 1). Если вы сделаете 6 ставок по 1, выиграете один раз и проиграете 5 раз, вам будет выплачено 6 и закончится квадрат. Ставка 1 с соотношением 1: 1 (эвены) выплачивает 2 (1 + 1), а ставка 1 с соотношением 1: 2 выплачивает 3 (1 + 2). Этот пример может отображаться во многих различных формах:

Дробные шансы с косой чертой: 5 (5/1 против), 1/1 (эвены), 1/2 (против) (лошадь с низкой оценкой).
Tote доски используйте десятичный или континентальный коэффициент, соотношение выплаченной суммы к ставке: 6.0, 2.0, 1.5
В США Moneyline. Положительное число означает выигрыш на ставку в 100 долларов; отрицательное число - сумма ставки, чтобы выиграть 100 долларов на короткой лошади: 500, 100 / -100, -200.

История

Язык расчетов, например использование таких фраз, как «десять к одному» для интуитивно оценка рисков, обнаружена в шестнадцатом веке, задолго до развития теория вероятности.^[2] Шекспир написал:

Знал, что мы рискнули в таких опасных морях
Что если бы мы изжили жизнь десять к одному
— Уильям Шекспир, Генрих IV, часть 2, Акт I, сцена 1, строки 181–2.

Шестнадцатый век эрудит Кардано продемонстрировали эффективность определения шансов как отношения благоприятных исходов к неблагоприятным. Под этим определением подразумевается тот факт, что вероятность события определяется соотношение благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.^[3]

Статистическое использование

Расчет вероятности (риска) против шансов

В статистике шансы - это выражение относительной вероятности, обычно обозначаемой как шансы. в пользу. Шансы (в пользу) на мероприятие или предложение - это отношение вероятности того, что событие произойдет, к вероятности того, что событие не произойдет. Математически это Бернулли суд, так как имеет ровно два результата. В случае конечного пространство образца из равновероятные исходы, это отношение количества результаты где событие происходит до количества результатов, при которых событие не происходит; их можно представить как W и L (для побед и поражений) или S и F (для успеха и неудачи). Например, вероятность того, что случайно выбранный день недели - выходные - от двух до пяти (2: 5), так как дни недели образуют выборку из семи результатов, и событие происходит для двух результатов (суббота и воскресенье), а не для другого. пять.^[4]^[5] И наоборот, учитывая шансы как отношение целых чисел, это может быть представлено вероятностным пространством конечного числа одинаково вероятных исходов. Эти определения эквивалентны, поскольку деление обоих членов в соотношении на количество результатов дает вероятности: ${ displaystyle 2: 5 = (2/7) :( 5/7).}$ И наоборот, шансы против - это противоположное соотношение. Например, вероятность того, что случайный день недели будет выходным, составляет 5: 2.

Шансы и вероятность могут быть выражены прозой через предлоги. к и в: "вероятность стольких к так много за (или против) [какое-то событие] "относится к шансы - соотношение количества (равновероятных) исходов за и против (или наоборот); "шансы на такое количество [результатов], в так много [результатов] "относится к вероятность - количество (одинаково одинаковых) исходов в пользу по сравнению с количеством за и против вместе взятых. Например, «шансы на выходные равны 2. к 5 ", а" шансы на выходные - 2 " в 7 дюймов. В повседневном использовании слова шансы и шансы (или шанс) часто используются как взаимозаменяемые, чтобы неопределенно обозначить некоторую меру шансов или вероятности, хотя предполагаемое значение можно вывести, отметив, является ли предлог между двумя числами к или в.^[6]^[7]^[8]

Математические отношения

Шансы могут быть выражены как отношение двух чисел, и в этом случае оно не является уникальным - масштабирование обоих терминов с использованием одного и того же коэффициента не меняет пропорции: коэффициент 1: 1 и коэффициент 100: 100 одинаковы (четные коэффициенты). Коэффициенты также могут быть выражены числом, разделив члены в соотношении - в этом случае оно уникально (разные фракции может представлять то же самое рациональное число ). Шансы как отношение, шансы как число и вероятность (также число) связаны простыми формулами, и аналогичным образом шансы в пользу и шансы против, вероятность успеха и вероятность неудачи имеют простые отношения. Шансы варьируются от 0 до бесконечности, а вероятности - от 0 до 1 и, следовательно, часто представлены как процент от 0% до 100%: изменение отношения переключает шансы на шансы против, и аналогично вероятность успеха с вероятностью неудачи.

Учитывая шансы (в пользу) как отношение W: L (выигрыши: проигрыши), шансы в пользу (в виде числа) ${ displaystyle o_ {f}}$ и шансы против (в виде числа) ${ displaystyle o_ {a}}$ можно вычислить простым делением, и являются мультипликативные обратные:

{ displaystyle { begin {align} o_ {f} & = W / L = 1 / o_ {a} o_ {a} & = L / W = 1 / o_ {f} o_ {f} cdot o_ {a} & = 1 end {выровнено}}}

Аналогичным образом, учитывая шансы в виде отношения, вероятность успеха или неудачи может быть вычислена путем деления, а вероятность успеха и вероятность неудачи суммируются на единство (один), поскольку это единственно возможные результаты. В случае конечного числа равновероятных исходов это можно интерпретировать как количество исходов, в которых происходит событие, деленное на общее количество событий:

{ Displaystyle { begin {align} p & = W / (W + L) = 1-q q & = L / (W + L) = 1-p p + q & = 1 end {align}} }

Учитывая вероятность п, шансы как отношение ${ displaystyle p: q}$ (вероятность успеха к вероятности неудачи), а шансы в виде чисел могут быть вычислены путем деления:

{ displaystyle { begin {align} o_ {f} & = p / q = p / (1-p) = (1-q) / q o_ {a} & = q / p = (1-p ) / p = q / (1-q) end {выровнено}}}

И наоборот, учитывая шансы в виде числа ${ displaystyle o_ {f},}$ это можно представить как отношение ${ displaystyle o_ {f}: 1,}$ или наоборот ${ displaystyle 1: (1 / o_ {f}) = 1: o_ {a},}$ из которого может быть вычислена вероятность успеха или неудачи:

{ displaystyle { begin {align} p & = o_ {f} / (o_ {f} +1) = 1 / (o_ {a} +1) q & = o_ {a} / (o_ {a} + 1) = 1 / (o_ {f} +1) end {align}}}

Таким образом, если они выражены в виде дроби с числителем 1, вероятность и шансы различаются ровно на 1 в знаменателе: вероятность равна 1. в 100 (1/100 = 1%) равно коэффициенту 1. к 99 (1/99 = 0.0101... = 0.01), а с коэффициентом 1 к 100 (1/100 = 0,01) равняется вероятности 1 в 101 (1/101 = 0.00990099... = 0.0099). Это незначительное различие, если вероятность мала (близка к нулю или «длинные шансы»), но большая разница, если вероятность велика (близка к единице).

Они рассчитаны на несколько простых коэффициентов:

шансы (соотношение)	${ displaystyle o_ {f}}$	${ displaystyle o_ {a}}$	${ displaystyle p}$	${ displaystyle q}$
1:1	1	1	50%	50%
0:1	0	∞	0%	100%
1:0	∞	0	100%	0%
2:1	2	0.5	67%	33%
1:2	0.5	2	33%	67%
4:1	4	0.25	80%	20%
1:4	0.25	4	20%	80%

9:1	9	0.1	90%	10%
10:1	10	0.1	90.90%	9.09%
99:1	99	0.01	99%	1%
100:1	100	0.01	99.0099%	0.9900%

Эти преобразования обладают некоторыми особыми геометрическими свойствами: все преобразования между шансами на и против (соответственно вероятность успеха с вероятностью неудачи) и между шансами и вероятностями Преобразования Мебиуса (дробно-линейные преобразования). Они таким образом определяется тремя пунктами (резко 3-переходный ). Обмен шансов на свопы и шансы против свопов 0 и бесконечности, фиксация 1, при обмене вероятности успеха на вероятность неудачи свопов 0 и 1, фиксация 0,5; они оба порядка 2, поэтому круговые преобразования. Преобразование шансов в вероятность фиксирует 0, отправляет бесконечность в 1 и отправляет 1 в 0,5 (равные шансы составляют 50% вероятности), и наоборот; это параболическое преобразование.

Приложения

В теория вероятности а статистика, шансы и аналогичные отношения могут быть более естественными или более удобными, чем вероятности. В некоторых случаях логарифм используются, что является логит вероятности. Проще говоря, шансы часто умножаются или делятся, а лог преобразует умножение в сложение и деление в вычитание. Это особенно важно в логистическая модель, в котором логарифмические шансы целевой переменной являются линейная комбинация наблюдаемых переменных.

Подобные коэффициенты используются в других местах статистики; центральное значение имеет отношение правдоподобия в правдоподобная статистика, который используется в Байесовская статистика как Фактор Байеса.

Коэффициенты особенно полезны в задачах последовательного принятия решений, например, в задачах о том, как остановиться (онлайн) на последнее конкретное событие который решается алгоритм шансов.

Шансы соотношение вероятностей; ан отношение шансов - отношение шансов, то есть отношение вероятностей. Отношения шансов часто используются при анализе клинические испытания. Хотя у них есть полезные математические свойства, они могут производить контр-интуитивно понятный результаты: событие с вероятностью 80% наступит в четыре раза более вероятно случиться, чем событие с вероятностью 20%, но шансы в 16 раз выше для менее вероятного события (4–1 против, или 4), чем на более вероятном (1–4 или 4–1 на, или 0,25).

Пример # 1: Есть 5 розовых шариков, 2 синих шарика и 8 фиолетовых шариков. Каковы шансы в пользу выбора голубого шарика?

Ответ: Шансы в пользу синего шарика 2:13. Эквивалентно можно сказать, что шансы 13: 2 против. Есть 2 из 15 шансов в пользу синих, 13 из 15 - против синих.

В теория вероятности и статистика, где переменная п это вероятность в пользу двоичного события, и вероятность против этого события, следовательно, 1-п, "шансы" события являются частным от двух, или ${ displaystyle { frac {p} {1-p}}}$ . Это значение может рассматриваться как относительная вероятность того, что событие произойдет, выраженная как дробная часть (если она меньше 1) или кратная (если она равна или больше единицы) вероятности того, что событие не произойдет. .

В первом примере вверху утверждение, что вероятность воскресенья составляет «один к шести» или, реже, «одна шестая» означает, что вероятность выбора воскресенья случайным образом составляет одну шестую вероятности того, что воскресенье не выбрано. В то время как математическая вероятность события имеет значение в диапазоне от нуля до единицы, «шансы» в пользу того же события лежат между нулем и бесконечностью. Шансы против события с вероятностью, заданной как п находятся ${ displaystyle { frac {1-p} {p}}}$ . Шансы против воскресенья 6: 1 или 6/1 = 6. Вероятность того, что случайный день не будет воскресеньем, в 6 раз выше.

Использование азартных игр

Использование коэффициентов в азартных играх позволяет делать ставки на события, в которых относительная вероятность исходов различается. Например, на подбрасывание монеты или Матч гонка между двумя одинаково подобранными лошадьми, два человека могут делать одинаковые ставки. Однако в более изменчивых ситуациях, таких как скачки с участием нескольких бегунов или футбольный матч между двумя неравными сторонами, ставка «с разницей» дает представление об относительной вероятности возможных результатов.

В современную эпоху большинство ставок с фиксированными коэффициентами происходит между букмекерскими организациями, такими как букмекерская контора, и отдельное лицо, а не между людьми. Возникли разные традиции в том, как выражать шансы клиентам, более старые эпохи пришли с разницей в ставках между людьми, что сегодня является незаконным в большинстве стран, это называлось «шансы», подпольное сленговое слово с корнями в Бронксе.

Дробные коэффициенты

Одобрено букмекеры в объединенное Королевство и Ирландия, а также распространены в скачки, дробные коэффициенты указывают чистую сумму, которая будет выплачена игроку, если он или она выиграет, относительно ставки.^[9] Коэффициент 4/1 означал бы, что игрок получит прибыль в 400 фунтов стерлингов на ставке в 100 фунтов стерлингов. Если коэффициент равен 1/4, игрок получит 25 фунтов стерлингов на ставку 100 фунтов стерлингов. В любом случае, выиграв, игрок всегда получает обратно первоначальную ставку; таким образом, если коэффициент равен 4/1, игрок получает в общей сложности 500 фунтов стерлингов (400 фунтов стерлингов плюс первоначальные 100 фунтов стерлингов). Коэффициент 1/1 известен как даже или даже деньги.

В числитель и знаменатель дробных коэффициентов всегда целые числа, таким образом, если бы выплата букмекера составляла 1,25 фунта стерлингов на каждую ставку в 1 фунт стерлингов, это было бы эквивалентно 5 фунтам стерлингов на каждые поставленные 4 фунта стерлингов, и поэтому коэффициент был бы выражен как 5/4. Однако не все дробные коэффициенты традиционно считываются с использованием наименьший общий знаменатель. Например, учитывая, что существует модель шансов 5/4, 7/4, 9/4 и так далее, шансы, которые математически равны 3/2, легче сравнивать, если они выражены в эквивалентной форме 6/4.

Дробные коэффициенты также известны как Британские шансы, Шансы Великобритании,^[10] или в этой стране традиционные шансы. Обычно они обозначаются знаком «/», но также могут быть представлены и знаком «-», например 4/1 или 4-1. Коэффициенты со знаминателем 1 часто представлены в списках только в качестве числителя.^{[нужна цитата ]}

Вариация дробных коэффициентов известна как Гонконг шансы. Фактически можно обменивать дробные и гонконгские коэффициенты. Единственное отличие состоит в том, что коэффициенты в Великобритании представлены в дробном виде (например, 6/5), а коэффициенты в Гонконге - в десятичном формате (например, 1,2). Оба показывают чистую прибыль.

Европейские коэффициенты также представляют собой потенциальный выигрыш (чистую прибыль), но, кроме того, они учитывают ставку (например, 6/5 или 1,2 плюс 1 = 2,2).^[11]

Десятичные коэффициенты

Предпочтение в континентальном Европа, Австралия, Новая Зеландия, Канада, и Сингапур, десятичные коэффициенты указывают соотношение суммы выплаты, в том числе исходный кол, на сам кол. Следовательно, десятичные коэффициенты исхода эквивалентны десятичному значению дробных коэффициентов плюс один.^[12] Таким образом, четные коэффициенты 1/1 указаны в десятичных коэффициентах как 2,00. Рассмотренные выше дробные коэффициенты 4/1 указаны как 5,00, а коэффициент 1/4 - как 1,25. Это считается идеальным для ставка ставки, потому что шансы на выплату - это просто произведение шансов на каждый исход, на который поставлена ставка. Если смотреть на десятичные коэффициенты в терминах ставок, проигравший имеет большее из двух десятичных знаков, а у фаворита - меньшее из двух. Чтобы вычислить десятичные коэффициенты, вы можете использовать уравнение Возврат = начальная ставка x десятичное значение.^[13] Например, если вы поставите 100 евро на то, что Ливерпуль обыграет «Манчестер Сити» с коэффициентом 2,00, вы выиграете 200 евро (100 евро x 2,00). Десятичные коэффициенты предпочитают биржи ставок потому что с ними легче всего работать в торговле, поскольку они отражают обратную вероятность результата.^[14] Например, указанный коэффициент 5,00 соответствует вероятности 1 / 5,00, то есть 0,20 или 20%.

Десятичные коэффициенты также известны как Европейские шансы, цифровые коэффициенты или континентальные шансы.^[10]

Шансы на денежную линию

Американские букмекеры предпочитают коэффициенты Moneyline. Цифра может быть положительной или отрицательной.

Когда шансы денежной линии положительны, цифра показывает, сколько денег будет выиграно при ставке в 100 долларов (это делается для исхода, который считается менее вероятным, чем нет). Например, чистая выплата 4/1 будет обозначена как +400.
Когда шансы денежной линии отрицательны, цифра показывает, сколько денег нужно поставить, чтобы выиграть 100 долларов (это делается для исхода, который считается более вероятным, чем нет). Например, чистая выплата 1/4 будет обозначена как -400.

Коэффициенты на денежную линию часто называют Американские шансы. Ставка "денежная линия" относится к шансам на прямой исход игры без учета точечный спред. В большинстве случаев у фаворита будут отрицательные шансы денежной линии (меньше выигрыша для более безопасной ставки), а у проигравшего будут положительные шансы денежной линии (больше выплаты для рискованной ставки). Однако, если команды равны, и то и другое команды могут одновременно иметь отрицательную линию (например, -110 -110 или -105-115) из-за взятия дома.

Оптовые коэффициенты

Оптовые шансы - это «реальные шансы» или 100% вероятность того, что событие произойдет. Эта 100% книга отображается без каких-либо букмекерская контора с рентабельность, которую часто называют букмекерской конторой "вокруг "встроенный.

"Оптовые шансы" показатель представляет собой индекс всех цен на вероятностном рынке, работающем со 100% -ной конкуренцией и отображаемый без учета маржи прибыли для участников рынка.

Шансы на азартные игры против вероятностей

В азартных играх отображаемые шансы не отражают истинные шансы (представленные букмекером) на то, что событие произойдет или не произойдет, а представляют собой сумму, которую букмекерская контора выплачивает выигрышную ставку вместе с требуемой ставкой. При формулировании коэффициентов для отображения букмекерская контора будет включать маржу прибыли, что фактически означает, что выплата успешному игрок меньше того, что представлено истинной вероятностью возникновения события. Эта прибыль известна как «сверхраунд» в «книге» («книга» относится к старомодной бухгалтерской книге, в которой регистрировались ставки, и является производным от термина «букмекерская контора») и относится к сумме «шансов» следующим образом:

Например, в скачках из трех лошадей истинная вероятность победы каждой из лошадей в зависимости от их относительных способностей может составлять 50%, 40% и 10%. Сумма этих трех процентов составляет 100%, что представляет собой честную «книгу». Истинные шансы на победу для каждой из трех лошадей составляют 1-1, 3-2 и 9-1 соответственно.

Чтобы получить прибыль от принятых ставок, букмекерская контора может решить увеличить значения до 60%, 50% и 20% для трех лошадей, соответственно. Это представляет собой шансы против каждого, которые составляют 4-6, 1-1 и 4-1 по порядку. Эти значения теперь составляют 130%, что означает, что книга имеет вокруг из 30 (130−100). Это значение 30 представляет собой сумму прибыли для букмекера, если он получит хорошие ставки на каждую из лошадей. Например, если он берет 60, 50 и 20 фунтов стерлингов соответственно на трех лошадей, он получает 130 фунтов стерлингов, но возвращает только 100 фунтов стерлингов (включая ставки), в зависимости от того, какая лошадь выиграет. И ожидаемое значение его прибыли положительны, даже если все делают ставки на одну и ту же лошадь. Искусство букмекерской конторы заключается в том, чтобы устанавливать достаточно низкие коэффициенты, чтобы получить положительное ожидаемое значение прибыли, сохраняя при этом достаточно высокие коэффициенты для привлечения клиентов, и в то же время привлекая достаточное количество ставок на каждый исход, чтобы снизить подверженность риску.

Исследование ставок на футбол показало, что вероятность победы команды хозяев была примерно на 3,4% меньше, чем значение, рассчитанное на основе шансов (например, 46,6% для равных шансов). По количеству побед посетителей это было примерно на 3,7% меньше, по розыгрышам - на 5,7%.^[15]

Получение прибыли в азартные игры включает в себя предсказание отношения истинных вероятностей к шансам выплаты. Услуги спортивной информации часто используются профессиональными и полупрофессиональными игроками, делающими ставки на спорт, для достижения этой цели.

Коэффициенты или суммы, которые будет выплачивать букмекерская контора, определяются общей суммой ставок на все возможные события. Они отражают баланс ставок по обе стороны события и включают вычет брокерского вознаграждения букмекерской конторы ("vig" или энергичный ).

Кроме того, в зависимости от того, как на ставки влияет юрисдикция, букмекерская контора и / или выигравший игрок могут взимать налоги. Это может быть принято во внимание при предложении шансов и / или может уменьшить сумму, выигранную игроком.

Смотрите также

использованная литература

^ «Как рассчитать шансы». WikiHow. Получено 18 августа 2020.
^ Джеймс, Франклин (2001). Наука гипотез: доказательства и вероятность до Паскаля. Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. С. 280–281.
^ Некоторые законы и проблемы классической вероятности и то, как их предвидел Кардано Горрочум, П. Шанс журнал 2012
^ Wolfram MathWorld. "Wolfram MathWorld (Коэффициенты)". Wolfram Research Inc. Получено 16 мая 2012.
^ Гельман, Андрей; Карлин, Джон Б .; Стерн, Хэл С .; Рубин, Дональд Б. (2003). «1,5». Байесовский анализ данных (2-е изд.). CRC Press.
^ Межгосударственная лотерейная ассоциация. «Добро пожаловать в Powerball - призы». Межгосударственная лотерейная ассоциация. Архивировано из оригинал 19 октября 2015 г.. Получено 16 мая 2012.
^ Лиза Гроссман (28 октября 2010 г.). «Шансы найти экзопланеты размером с Землю - 1 к 4». Проводной. Получено 16 мая 2012.
^ Вольфрам Альфа. "Wolfram Alpha (вероятности покера)". вольфрам Альфа. Получено 16 мая 2012.
^ "Школа ставок: дробные и десятичные коэффициенты ставок". Цель. 10 января 2011 г.. Получено 27 марта 2014.
^ ^а ^б «Формат ставок». Мировая биржа ставок. Архивировано из оригинал 2 мая 2014 г.. Получено 27 марта 2014.
^ «Понимание коэффициентов ставок - денежная линия, дробные коэффициенты, десятичные коэффициенты, коэффициенты Гонконга, коэффициенты IN, коэффициенты MA». Soccerwidow. Получено 10 декабря 2014.
^ «Дробные шансы». Архивировано из оригинал 2 апреля 2014 г.. Получено 27 марта 2014.
^ С., Джоуи. «Как читать шансы». BettingBuck. Получено 26 ноября 2019.
^ Кортис, Доминик (2015). Ожидаемые значения и дисперсия выплат букмекеров: теоретический подход к установлению ограничений на коэффициенты. Журнал предсказаний рынков. 1. 9.
^ Лисандро Кауниц; и другие. (Октябрь 2017 г.). «Победа над букмекерами с их собственными числами - и как сфальсифицирован рынок спортивных ставок». arXiv:1710.02824.

[WikiHow-1] «Как рассчитать шансы». WikiHow. Получено 18 августа 2020.

[Franklin-2] Джеймс, Франклин (2001). Наука гипотез: доказательства и вероятность до Паскаля. Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. С. 280–281.

[columbia.edu-3] Некоторые законы и проблемы классической вероятности и то, как их предвидел Кардано Горрочум, П. Шанс журнал 2012

[Wolfram-4] Wolfram MathWorld. "Wolfram MathWorld (Коэффициенты)". Wolfram Research Inc. Получено 16 мая 2012.

[Gelman-5] Гельман, Андрей; Карлин, Джон Б .; Стерн, Хэл С .; Рубин, Дональд Б. (2003). «1,5». Байесовский анализ данных (2-е изд.). CRC Press.

[Powerball-6] Межгосударственная лотерейная ассоциация. «Добро пожаловать в Powerball - призы». Межгосударственная лотерейная ассоциация. Архивировано из оригинал 19 октября 2015 г.. Получено 16 мая 2012.

[Wired-7] Лиза Гроссман (28 октября 2010 г.). «Шансы найти экзопланеты размером с Землю - 1 к 4». Проводной. Получено 16 мая 2012.

[Wolfram2-8] Вольфрам Альфа. "Wolfram Alpha (вероятности покера)". вольфрам Альфа. Получено 16 мая 2012.

[Goal-9] "Школа ставок: дробные и десятичные коэффициенты ставок". Цель. 10 января 2011 г.. Получено 27 марта 2014.

[wbx-10] а ^б «Формат ставок». Мировая биржа ставок. Архивировано из оригинал 2 мая 2014 г.. Получено 27 марта 2014.

[SW1-11] «Понимание коэффициентов ставок - денежная линия, дробные коэффициенты, десятичные коэффициенты, коэффициенты Гонконга, коэффициенты IN, коэффициенты MA». Soccerwidow. Получено 10 декабря 2014.

[Betstarter-12] «Дробные шансы». Архивировано из оригинал 2 апреля 2014 г.. Получено 27 марта 2014.

[BB-13] С., Джоуи. «Как читать шансы». BettingBuck. Получено 26 ноября 2019.

[Cortis-14] Кортис, Доминик (2015). Ожидаемые значения и дисперсия выплат букмекеров: теоретический подход к установлению ограничений на коэффициенты. Журнал предсказаний рынков. 1. 9.

[Lisandro_Kaunitz-15] Лисандро Кауниц; и другие. (Октябрь 2017 г.). «Победа над букмекерами с их собственными числами - и как сфальсифицирован рынок спортивных ставок». arXiv:1710.02824.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]