Теория объекта - Object theory

Теория объекта это теория в математическая логика относительно объектов и утверждений, которые могут быть сделаны об объектах.

В некоторых случаях «объекты» можно представить себе как символы и цепочки символов, которые здесь проиллюстрированы цепочкой из четырех символов «← ↑ ↓ ← → ← ↓», составленной из 4-значного алфавита {←, ↑, → , ↓}. Когда они «известны только через отношения системы [в которой они появляются], система [называется] Абстрактные ... то, что представляют собой объекты, в любом отношении, кроме того, как они вписываются в структуру, остается неопределенным ». (Kleene 1952: 25) Дальнейшее определение объектов приводит к модель или же представление абстрактной системы, «то есть системы объектов, которые удовлетворяют отношениям абстрактной системы и также имеют некоторый дополнительный статус» (там же).

Система в общем смысле - это совокупность объекты O = {o₁, о₂, ... о_п, ...} и (спецификация) отношение р или отношения г₁, р₂, ... р_п между объектами.

Пример: дана простая система = {{←, ↑, →, ↓}, ∫ } для очень простой связи между объектами, обозначенными символом ∫:^[1]

∫→ => ↑, ∫↑ => ←, ∫← => ↓, ∫↓ => →

Модель этой системы возникнет, когда мы присвоим, например, знакомые натуральные числа {0, 1, 2, 3} символам {←, ↑, →, ↓}, то есть таким образом: → = 0, ↑ = 1, ← = 2, ↓ = 3. Здесь символ ∫ указывает на «функцию-преемник» (часто пишущую как апостроф, чтобы отличить ее от +), работающую с коллекцией только из 4 объектов, таким образом, 0 '= 1, 1' = 2, 2 '= 3, 3' = 0.

Или мы можем указать, что ∫ представляет собой поворот простого объекта на 90 градусов против часовой стрелки →.

Генетический и аксиоматический методы

Ниже приводится пример генетический или же конструктивный метод создания объектов в системе, другой - аксиоматический или же постуляционный метод. Клини утверждает, что генетический метод предназначен для «генерации» всех объектов системы и, таким образом, «полного и однозначного определения абстрактной структуры системы» (и, таким образом, определения системы категорически). Если используются аксиомы, а не генетический метод, такие наборы аксиом называются категоричный.^[2]

в отличие от ∫ приведенный выше пример создает неограниченное количество объектов. Тот факт, что O - множество, □ - элемент O, а ■ - операция, должен быть указан с самого начала; это делается на языке метатеория (Смотри ниже):

Данная система (O, □, ■): O = {□, ■ □, ■■ □, ■■■ □, ■■■■ □, ■■■■■ □, ..., ■^п□ и т. Д.}

Сокращения

Объект ■^п□ демонстрирует использование «аббревиатуры», способ упростить обозначение объектов и, следовательно, обсуждение их, после того как они были созданы «официально». При правильном выполнении определение будет выглядеть следующим образом:

■□ ≡ ■¹□, ■■□ ≡ ■²□, ■■■□ ≡ ■³□ и т. Д., Где предполагается, что понятия ≡ («определяется как») и «число» интуитивно понимаются в метатеории.

Курт Гёдель 1931 фактически построил все доказательство своего теоремы о неполноте (фактически он доказал теорему IV и набросал доказательство теоремы XI), используя эту тактику, исходя из своих аксиом, используя подстановку, конкатенацию и дедукцию modus ponens произвести сборник из 45 «определений» (точнее, выводов или теорем) из аксиом.

Более знакомая тактика - это, возможно, создание подпрограмм, которым даны имена, например в Excel подпрограмма «= INT (A1)», которая возвращает в ячейку, в которой она набрана (например, ячейка B1), целое число, найденное в ячейке A1.

Модели

А модель в приведенном выше примере - левый Машина Пост-Тьюринга лента с закрепленной «головкой», расположенной на левом торце квадрата; отношение системы эквивалентно: «К левому краю прикрепите новый квадрат □, сдвиньте ленту вправо, затем напечатайте ■ на новом квадрате». Другая модель - натуральные числа, созданные функцией «преемника». Поскольку объекты в двух системах, например. (□, ■ □, ■■ □, ■■■ □ ...) и (0, 0 ′, 0 ′ ′, 0 ′ ′ ′, ...) можно поставить в соответствие 1-1, системы называются (просто) изоморфный (что означает «такая же форма»). Еще одна изоморфная модель - это небольшая последовательность инструкций для счетчик машина например «Выполните следующие действия по порядку: (1) Выкопайте яму. (2) В яму бросьте камешек. (3) Переходите к шагу 2.»

Пока их объекты могут быть помещены во взаимно однозначное соответствие («при сохранении отношений»), модели могут считаться «эквивалентными» независимо от того, как их объекты генерируются (например, генетически или аксиоматически):

«Любые две просто изоморфные системы составляют представления [модели] одной и той же абстрактной системы, которая получается путем абстрагирования от любой из них, то есть путем исключения всех отношений и свойств, кроме тех, которые должны рассматриваться для абстрактной системы». (Клини 1935: 25)

Молчаливые предположения, неявное знание

Внимательный читатель мог заметить, что написание символов □, ■ □, ■■ □, ■■■ □ и т. Д. Путем конкатенации отмеченного квадрата, т. Е. ■, с существующей строкой отличается от написания законченных символов один за другим на Лента машины Тьюринга. Другой вполне возможный сценарий - создание последовательностей символов одну за другой на разных участках ленты, например. после трех символов: ■■■ □ ■■ □ ■ □□. Доказать, что эти две возможности различны, несложно: они требуют разных «программ». Но в некотором смысле обе версии создают одни и те же объекты; во втором случае объекты сохраняются на ленте. Точно так же, если бы человек написал 0, затем удалил его, записал 1 в том же месте, затем удалил его, записал 2, удалил его, до бесконечности, человек генерировал те же объекты, как если бы они записывали 0 1 2 3 ... писать один символ за другим справа на бумаге.

После того, как был сделан шаг, записать символы 3 2 1 0 один за другим на листе бумаги (на этот раз написать новый символ слева) или написать ∫∫∫ ※ ∫∫ ※ ∫ ※※ аналогичным Таким образом, сопоставление 1-1 с символами ленты Тьюринга кажется очевидным. Копать ямы одну за другой, начиная с ямы в «исходной точке», затем ямы слева от нее с одним камешком, затем ямы для это оставленный с двумя камешками в нем, до бесконечности, вызывает практические вопросы, но и в абстрактном виде можно увидеть, что он ведет к тому же соответствию 1-1.

Однако ничто конкретное в определении генетических и аксиоматических методов не проясняет это - это вопросы, которые следует обсудить в метатеории. Математик или ученый несут ответственность за неаккуратные спецификации. Брегер предупреждает, что аксиоматические методы восприимчивы к неявному знанию, в частности, такого рода, которое включает в себя «ноу-хау человека» (Breger 2000: 227).

Формальная система

В целом по математике формальная система или «формальная теория» состоит из «объектов» в структуре:

Символы, которые нужно соединить (присоединить),
Правила формирования (полностью определенные, т.е. формальные правила синтаксис ), которые диктуют, как символы и сборки символов должны быть сформированы в сборки (например, последовательности) символов (называемых терминами, формулами, предложениями, предложениями, теоремами и т. д.), чтобы они находились в «правильно сформированных» образцах ( например, может ли символ быть объединен только на его левом конце, только на его правом конце или на обоих концах одновременно? Может ли набор символов быть заменен (помещен вместо) одним или несколькими символами, которые могут появляться в любом месте целевого символа - нить?),
Правильно сформированные «предложения» (называемые «теоремами», утверждениями или предложениями), собранные в соответствии с правилами формирования,
Немного аксиомы которые указаны заранее и могут включать «неопределенные понятия» (примеры: «множество», «элемент», «принадлежность» в теории множеств; «0» и «'» (преемник) в теории чисел),
По крайней мере одно правило дедуктивный вывод (например. modus ponens ), позволяющие перейти от одной или нескольких аксиом и / или предложений к другому утверждению.

Неформальная теория, теория объектов и метатеория

А метатеория существует вне формализованной теории объектов - бессмысленных символов и отношений и (правильно сформированных) цепочек символов. Метатеория комментирует (описывает, интерпретирует, иллюстрирует) эти бессмысленные объекты, используя «интуитивные» понятия и «обычный язык». Как и теория объектов, метатеория должна быть дисциплинированной, возможно, даже квазиформальной, но в целом интерпретации объектов и правил скорее интуитивны, чем формальны. Клини требует, чтобы методы метатеории (по крайней мере, для целей метаматематика ) быть конечным, мыслимым и выполнимым; эти методы не могут обратиться к завершено бесконечное. «Доказательства существования должны давать, по крайней мере неявно, метод конструирования объекта, существование которого доказывается».^[3] (стр.64)

Клини резюмирует это следующим образом: «В полной картине будут три отдельные и различные« теории »».

"(а) неформальная теория, формальная система которой представляет собой формализацию

"b) формальная система или теория объектов, и

«(c) метатеория, в которой формальная система описывается и изучается» (стр. 65)

Далее он говорит, что теория объектов (b) не является «теорией» в общепринятом смысле, а скорее является «системой символов и объектов, построенных из символов (описанных в (c))».

Расширение понятия формальной системы

Правильно сформированные объекты

Если набор объектов (символов и последовательностей символов) должен считаться «правильно сформированным», должен существовать алгоритм для определения, останавливаясь на ответе «да» или «нет», является ли объект правильным или нет. сформировано (в математике wff сокращает правильно сформированная формула ). Этот алгоритм, в крайнем случае, может потребовать (или быть) Машина Тьюринга или же Эквивалент Тьюринга машина, которая "разбирает "строка символов, представленная на ленте как" данные "; перед универсальная машина Тьюринга может выполнить инструкцию на своей ленте, он должен проанализировать символы, чтобы определить точную природу инструкции и / или данных, закодированных там. В более простых случаях конечный автомат или выталкивающий автомат может сделать эту работу. Эндертон описывает использование «деревьев» для определения того, правильно ли сформирована логическая формула (в частности, строка символов с круглыми скобками).^[4] Церковь Алонсо 1934^[5] описывает построение «формул» (опять же: последовательности символов), как написано в его λ-исчислении, с использованием рекурсивный описание того, как начать формулу и затем использовать начальный символ, используя конкатенацию и подстановку.

Пример: Черч определил свое λ-исчисление следующим образом (следующая упрощенная версия не включает понятия свободных и связанных переменных). Этот пример показывает, как теория объектов начинается со спецификации объектная система символов и отношений (в частности, за счет конкатенации символов):

(1) Объявите символы: {, }, (, ), λ, [, ] плюс бесконечное количество переменные а, б, c, ..., Икс, ...

(2) Определить формула: последовательность символов

(3) Определите понятие «правильно построенная формула» (wff), рекурсивно начиная с «основы» (3.i):

(3.1) (базис) Переменная Икс это WFF
(3.2) Если F и Икс wffs, тогда {F} (X) это ВФФ; если Икс происходит в F или же Икс тогда говорят, что это переменная в {F} (X).
(3.3) Если M хорошо сформирован и Икс происходит в M тогда λx [M] это WFF.

(4) Определите различные сокращения:

{F} [X] сокращается до F (X) если F это единственный символ
${ displaystyle {{F} [X]} [Y]}$ сокращается до {F} (X, Y) или же F (X, Y) если F это единственный символ
λx₁λx₂[... λx_п[M] ...] сокращается до λx₁Икс₂...Икс_п• M
λab • a (b) сокращается до 1
λab • a (a (b)) сокращается до 2, так далее.

(5) Определите понятие «подстановка» формулы N для переменной Икс на протяжении M^[6] (Церковь 1936 г.)

Неопределенные (примитивные) объекты

Некоторые объекты могут быть «неопределенными» или «примитивными» и получать определение (с точки зрения их поведения) путем введения аксиомы.

В следующем примере неопределенные символы будут {※, ↀ, ∫ }. Аксиомы описывают их поведение.

Аксиомы

Клини отмечает, что аксиомы состоят из двух наборов символов: (i) неопределенных или примитивных объектов и тех, которые известны ранее. В следующем примере он ранее известен в следующей системе (O, ※, ↀ, ∫ ), что O составляет набор объектов («домен»), ※ - объект в домене, ↀ и ∫ являются символами для отношений между объектами, => указывает на логический оператор «ЕСЛИ ТО», ε - это символ, который указывает, что «является элементом множества O», а «n» будет использоваться для обозначения произвольного элемента множества. оф-объектов О.

После (i) определения "строка S"- объект, который является символом ※ или конкатенированными символами ↀ, ↀ или ∫, и (ii) определение" правильно сформированных "строк - (основа) ※ и ↀS, ∫S куда S это любая строка, следуют аксиомы:

ↀ ※ => ※, прописью: «ЕСЛИ ↀ применяется к объекту ※ ТО объект ※ результат».
∫n ε O, в словах «ЕСЛИ ∫ применяется к произвольному объекту« n »в O, ТО этот объект ∫n является элементом O».
ↀn ε O, «ЕСЛИ ↀ применяется к произвольному объекту« n »в O, ТО этот объект ↀn является элементом O».
ↀ∫n => n, «ЕСЛИ ↀ применяется к объекту ∫n, ТО получится объект n».
∫ↀn => n, «ЕСЛИ ∫ применяется к объекту ↀn, ТО получится объект n».

Так что может быть (предполагаемая) интерпретация^[7] этих символов, определений и аксиом?

Если мы определяем ※ как «0», ∫ как «преемник» и ↀ как «предшественник», то ↀ ※ => ※ означает «правильное вычитание» (иногда обозначается символом ∸, где «предшественник» вычитает единицу из числа. , поэтому 0 ∸1 = 0). Строка «ↀ∫n => n» указывает, что если сначала преемник применяется к произвольному объекту n, а затем предшественник ↀ применяется к ∫n, то получается исходный n ».

«Адекватен» ли этот набор аксиом? Правильным ответом будет вопрос: «Адекватно для описания чего, в частности?» «Аксиомы определяют, к каким системам, определенным извне теории, применима теория». (Клини 1952: 27). Другими словами, аксиом может быть достаточно для одной системы, но не для другой.

Фактически, легко увидеть, что этот набор аксиом не очень удачный - на самом деле, это непоследовательный (то есть, он дает противоречивые результаты, независимо от его интерпретации):

Пример: Определите ※ как 0, ∫ ※ как 1 и ↀ1 = 0. Из первой аксиомы ↀ ※ = 0, поэтому ∫ↀ ※ = ∫0 = 1. Но последняя аксиома определяет, что для любого произвольного n, включая = 0, ∫ↀn => n, поэтому эта аксиома предполагает, что ∫ↀ0 => 0, а не 1.

Отметим также, что набор аксиом не определяет, что ∫n ≠ n. Или, за исключением случая n = ※, n ≠ n. Если бы мы включили эти две аксиомы, нам нужно было бы описать интуитивные понятия «равно», символизируемые знаком =, и не-равные, символизируемые знаком.

Смотрите также

Язык объекта

Примечания

^ Абстрактно отношения ∫ определяется набором упорядоченных пар {(→, ↑), (↑, ←), (←, ↓), (↓, →)}
^ Клини 1952: 26. Это различие между конструктивными и аксиоматическими методами и словами, используемыми для их описания, принадлежит Клини из-за его ссылки на Гильберта 1900 года.
^ Это интуиционист требование: он официально запрещает использование закон исключенного среднего над бесконечными коллекциями (наборами) объектов.
^ Эндертон 2002: 30
^ Church 1934 переиздано в Davis 1965: 88ff
^ Подстановка усложняется и требует больше информации (например, определения «свободных» и «связанных» переменных и трех разновидностей подстановки), чем было дано в этом кратком примере.
^ Клини определяет предполагаемая интерпретация как «значения, которые должны быть приданы символам, формулам и т. д. данной формальной системы, при рассмотрении системы как формализации неформальной теории ... (стр. 64)