Неравенство Нётер - Noether inequality

В математика, то Неравенство Нётер, названный в честь Макс Нётер, является собственностью компактный минимальный сложные поверхности который ограничивает топологический тип лежащей в основе топологической 4-х коллекторный. В более общем случае это справедливо для минимальных проективных поверхностей общего типа над алгебраически замкнутым полем.

Формулировка неравенства

Позволять Икс быть гладким минимальный проективный поверхность общего типа определен на алгебраически замкнутое поле (или гладкая минимальная компактная комплексная поверхность общего типа) с каноническим дивизором K = −c₁(Икс), и разреши п_грамм = час⁰(K) - размерность пространства двух голоморфных форм, то

${\displaystyle p_{g}\leq {\frac {1}{2}}c_{1}(X)^{2}+2.}$

Для сложных поверхностей альтернативная формулировка выражает это неравенство в терминах топологических инвариантов лежащего в основе действительного ориентированного четырехмерного многообразия. Поскольку поверхность общего типа - это Kähler поверхность, размерность максимального положительного подпространства в форме пересечения на вторых когомологиях задается формулой б₊ = 1 + 2п_грамм. Более того, по Теорема Хирцебруха о сигнатуре c₁² (Икс) = 2е + 3σ, куда е = c₂(Икс) - топологический Эйлерова характеристика и σ = б₊ − б₋ подпись форма пересечения. Следовательно, неравенство Нётер также может быть выражено как

${\displaystyle b_{+}\leq 2e+3\sigma +5}$

или эквивалентно используя е = 2 – 2 б₁ + б₊ + б₋

${\displaystyle b_{-}+4b_{1}\leq 4b_{+}+9.}$

Комбинируя неравенство Нётер с Формула Нётер 12χ =c₁²+c₂ дает

${\displaystyle 5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+36\geq 12q}$

куда q это неровность поверхности, что приводит к несколько более слабому неравенству, которое также часто называют неравенством Нётер:

${\displaystyle 5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+36\geq 0\quad (c_{1}^{2}(X){\text{ even}})}$

${\displaystyle 5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+30\geq 0\quad (c_{1}^{2}(X){\text{ odd}}).}$

Поверхности, на которых выполняется равенство (т.е.на линии Нётер), называются Поверхности Хорикавы.

Доказательство эскиза

Из условия минимального общего типа следует, что K² > 0. Таким образом, можно считать, что п_грамм > 1, поскольку в противном случае неравенство автоматическое. В частности, можно считать, что существует эффективный дивизор D представляющий K. Тогда у нас есть точная последовательность

${\displaystyle 0\to H^{0}({\mathcal {O}}_{X})\to H^{0}(K)\to H^{0}(K|_{D})\to H^{1}({\mathcal {O}}_{X})\to }$

так ${\displaystyle p_{g}-1\leq h^{0}(K|_{D}).}$

Предположить, что D гладко. Посредством формула присоединения D имеет канонический набор строк ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}(2K)}$, следовательно ${\displaystyle K|_{D}}$ это специальный делитель и Неравенство Клиффорда применяется, что дает

${\displaystyle h^{0}(K|_{D})-1\leq {\frac {1}{2}}\mathrm {deg} _{D}(K)={\frac {1}{2}}K^{2}.}$

В общем, по существу тот же аргумент применяется с использованием более общей версии неравенства Клиффорда для локальных полных пересечений с дуализирующим линейным расслоением и одномерных сечений в тривиальном линейном расслоении. Эти условия выполняются для кривой D формулой присоединения и тем фактом, что D численно связан.

Рекомендации

• Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис А.М .; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Берлин, ISBN  978-3-540-00832-3, МИСТЕР  2030225
• Лидтке, Кристиан (2008), «Алгебраические поверхности общего типа с малым c₁² в положительной характеристике », Nagoya Math. Дж., 191: 111–134
• Нётер, Макс (1875), "Zur Theorie der eindeutigen Entsprechungen algebraischer Gebilde", Математика. Анна., 8 (4): 495–533, Дои:10.1007 / BF02106598