Теорема Нивенса - Nivens theorem

В математика, Теорема Нивена, названный в честь Иван Нивен, утверждает, что единственный рациональный ценности θ в интервале 0 ° ≤θ ≤ 90 °, для которого синус из θ градусы тоже рациональное число:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\sin 30^{\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\sin 90^{\circ }&=1.\end{aligned}}}$

В радианы, потребовалось бы, чтобы 0 ≤Икс ≤ π/ 2, что Икс/π быть рациональным, и этот грехИкс быть рациональным. Отсюда вывод, что единственными такими значениями являются sin 0 = 0, sinπ/ 6 = 1/2, и грехπ/2 = 1.

Теорема появляется как следствие 3.12 в книге Нивена о иррациональные числа.^[2]

Теорема распространяется на другие тригонометрические функции также.^[2] Для рациональных значений θ единственными рациональными значениями синуса или косинуса являются 0, ± 1/2 и ± 1; единственные рациональные значения секанса или косеканса - ± 1 и ± 2; и единственными рациональными значениями тангенса или котангенса являются 0 и ± 1.^[3]

Смотрите также

• Пифагорейские тройки образуют прямоугольные треугольники, в которых тригонометрические функции всегда будут принимать рациональные значения, хотя острые углы не являются рациональными
• Тригонометрические функции
• Тригонометрическое число

Рекомендации

1. Шаумбергер, Норман (1974). "Классная теорема о тригонометрических иррациональностях". Двухлетний математический журнал колледжа. 5 (1): 73–76. Дои:10.2307/3026991. JSTOR  3026991.
2. Нивен, Иван (1956). Иррациональные числа. В Математические монографии Каруса. Математическая ассоциация Америки. п.41. МИСТЕР  0080123.
3. Доказательство для косинусного случая выглядит как лемма 12 в Bennett, Curtis D .; Glass, A.MW .; Секели, Габор Дж. (2004). «Последняя теорема Ферма для рациональных показателей». Американский математический ежемесячный журнал. 111 (4): 322–329. Дои:10.2307/4145241. JSTOR  4145241. МИСТЕР  2057186.

дальнейшее чтение

• Олмстед, Дж. М. Х. (1945). «Рациональные значения тригонометрических функций». Американский математический ежемесячник. 52 (9): 507–508. JSTOR  2304540.
• Лемер, Дерик Х. (1933). «Заметка о тригонометрических алгебраических числах». Американский математический ежемесячник. 40 (3): 165–166. Дои:10.2307/2301023. JSTOR  2301023.
• Янель, Йорг (2010). «Когда (со) синус рационального угла равен рациональному числу?». arXiv:1006.2938 [math.HO ].

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Нивена». MathWorld.
• Теорема Нивена в ProofWiki