Теорема Ньютона (четырехугольник) - Newtons theorem (quadrilateral)

п лежит на линии Ньютона EF

В Евклидова геометрия Теорема ньютона заявляет, что в каждом тангенциальный четырехугольник кроме ромб, центр окружать лежит на Линия Ньютона.

Позволять ABCD - касательный четырехугольник, у которого не более одной пары параллельных сторон. Кроме того, пусть E и F середины его диагоналей AC и BD и п быть центром его вписанной окружности. При такой конфигурации точка P находится на линии Ньютона, то есть линии EF соединяя середины диагоналей.

Тангенциальный четырехугольник с двумя парами параллельных сторон - это ромб. В этом случае обе середины и центр вписанной окружности совпадают, и по определению прямой Ньютона не существует.

Теорема Ньютона легко выводится из Теорема Анны учитывая, что в тангенциальных четырехугольниках суммарные длины противоположных сторон равны (Теорема Пито: а + c = б + d). Теперь, согласно теореме Анны, показывающей, что совокупные площади противоположных треугольников PAD и КПБ и совмещенные области треугольников PAB и PCD равны, достаточно, чтобы гарантировать, что п лежит на EF. Позволять р - радиус вписанной окружности, то р также высота всех четырех треугольников.

${\displaystyle {\begin{aligned}&A(\triangle PAB)+A(\triangle PCD)\\[5pt]={}&{\tfrac {1}{2}}ra+{\tfrac {1}{2}}rc={\tfrac {1}{2}}r(a+c)\\[5pt]={}&{\tfrac {1}{2}}r(b+d)={\tfrac {1}{2}}rc+{\tfrac {1}{2}}rd\\[5pt]={}&A(\triangle PBC)+A(\triangle PAD)\end{aligned}}}$

Рекомендации

• Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику. МАА, 2010 г., ISBN  9780883853481, С. 117–118 (онлайн-копия, п. 117, в Google Книги )

внешняя ссылка

• Теоремы Ньютона и Леона Анны на cut-the-knot.org