Нерв покрова - Nerve of a covering

Построение нерва открытого хорошего покрытия, содержащего 3 набора в плоскости.

В топология, то нерв открытого покрова это конструкция абстрактный симплициальный комплекс из открытое покрытие из топологическое пространство Икс который захватывает многие интересные топологические свойства алгоритмическим или комбинаторным способом. Он был представлен Павел Александров[1] и теперь имеет множество вариантов и обобщений, среди которых Чешский нерв крышки, которая, в свою очередь, обобщается гиперпокрытия.[2]

Определение Александрова

Позволять Икс быть топологическим пространством. Позволять быть набор индексов. Позволять быть семьей, индексируемой из открытые подмножества из Икс: . В нерв из является набором конечных подмножеств индекс-множества . Он содержит все конечные подмножества такое, что пересечение Uя чьи подиндексы находятся в J не пусто:

N (C) :=

N (C) может содержать синглтоны (элементы я в такой, что Uя не пусто), пары (пары элементов i, j в такой, что Uя пересекает Uj), тройняшек и так далее. Если J принадлежит N(С), то любое его подмножество также принадлежит N (C). Следовательно N (C) является абстрактный симплициальный комплекс и его часто называют нервный комплекс из C.

Примеры

1. Пусть Икс быть окружностью S1 и C = {U1, U2}, куда U1 дуга, покрывающая верхнюю половину S1 и U2 представляет собой дугу, покрывающую ее нижнюю половину, с некоторым перекрытием с обеих сторон (они должны перекрываться с обеих сторон, чтобы покрыть все S1). потом N(C) = {{1}, {2}, {1,2}}, что является абстрактным 1-симплексом.

2. Пусть Икс быть окружностью S1 и C = {U1, U2, U3}, где каждый Uя дуга, покрывающая одну треть S1, с некоторым перекрытием с соседними Uя. потом N(C) = {{1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {3,1}}. Обратите внимание, что {1,2,3} не входит в N (C), поскольку общее пересечение всех трех множеств пусто.

Чешский нерв

Учитывая открытая крышка топологического пространства , или, в более общем смысле, обложку на сайте, мы можем рассматривать попарно продукты из волокна , которые в случае топологического пространства являются в точности пересечениями . Совокупность всех таких пересечений можно назвать и тройные пересечения как .

Рассматривая естественные карты и , мы можем построить симплициальный объект определяется , n-кратное волокнистое изделие. Это Чех нерв. [3]

Взяв связные компоненты, мы получаем симплициальный набор, которые мы можем реализовать топологически: .

Теоремы о нервах

В общем случае комплекс N (C) не обязательно отражать топологию Икс точно. Например, мы можем покрыть любые п-сфера с двумя стягиваемыми наборами U1 и U2 которые имеют непустое пересечение, как в примере 1 выше. В этом случае, N(C) - абстрактный 1-симплекс, похожий на линию, но не на сферу.

Однако в некоторых случаях N (C) действительно отражает топологию Икс. Например, если круг покрыт тремя открытыми дугами, попарно пересекающимися, как в примере 2 выше, то N (C) является 2-симплексом (без внутренней части) и гомотопический эквивалент к исходному кругу.

[4]

А теорема о нерве (или же нервная лемма) - теорема, дающая достаточные условия на C гарантируя, что N (C) в некотором смысле отражает топологию Икс.

Основная теорема о нерве Leray говорит, что, если любое пересечение множеств в N (C) является стягиваемый (эквивалентно: для каждого конечного набор либо пусто, либо стягивается; эквивалентно: C это хорошая открытая крышка ), то N (C) является гомотопический эквивалент к Икс.[5]

Другая теорема о нерве относится к чешскому нерву выше: если компактно и все пересечения множеств в C стягиваемы или пусты, то пробел является гомотопический эквивалент к .[6]

Теорема о гомологическом нерве

Следующая теорема о нерве использует группы гомологии пересечений множеств в обложке.[7] Для каждого конечного , обозначим то j-го пониженная гомология группа .

Если ЧАСДж, Дж это тривиальная группа для всех J в k-скелет N (C) и для всех j в {0, ..., k-dim (J)}, то N (C) "гомологически эквивалентно" Икс в следующем смысле:

  • для всех j в {0, ..., k};
  • если тогда .

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Александров, П.С. (1928). "Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung". Mathematische Annalen. 98: 617–635. Дои:10.1007 / BF01451612. S2CID  119590045.
  2. ^ Эйленберг, Сэмюэл; Стинрод, Норман (1952-12-31). Основы алгебраической топологии. Принстон: Издательство Принстонского университета. Дои:10.1515/9781400877492. ISBN  978-1-4008-7749-2.
  3. ^ "Чешский нерв в nLab". ncatlab.org. Получено 2020-08-07.
  4. ^ Артин, М .; Мазур, Б. (1969). "Etale Homotopy". Конспект лекций по математике. 100. Дои:10.1007 / bfb0080957. ISBN  978-3-540-04619-6. ISSN  0075-8434.
  5. ^ 1969-, Христос, Роберт В. (2014). Элементарная прикладная топология (Издание 1.0 изд.). [Соединенные Штаты]. ISBN  9781502880857. OCLC  899283974.CS1 maint: числовые имена: список авторов (связь)
  6. ^ Теорема о нерве в nLab
  7. ^ Мешулам, Рой (01.01.2001). «Кликовый комплекс и соответствие гиперграфа». Комбинаторика. 21 (1): 89–94. Дои:10.1007 / s004930170006. ISSN  1439-6912. S2CID  207006642.