Теорема Майерса - Myerss theorem

Теорема Майерса, также известный как Теорема Бонне – Майерса, является знаменитой фундаментальной теоремой в математической области Риманова геометрия. Это было обнаружено Самнер Байрон Майерс в 1941 году. В нем утверждается следующее:

Позволять ${ displaystyle (M, g)}$ - полное риманово многообразие размерности ${ displaystyle n}$ кривизна Риччи которого удовлетворяет ${ Displaystyle Ric ^ {g} geq (п-1) к}$ для некоторого положительного действительного числа ${ displaystyle k.}$ Тогда любые две точки M можно соединить геодезическим отрезком длины ${ displaystyle leq pi / { sqrt {k}}}$ .

В частном случае поверхностей этот результат был доказан Оссиан капот в 1855 г. Для поверхности кривизны Гаусса, сечения и кривизны Риччи одинаковы, но доказательство Бонне легко обобщается на более высокие измерения, если предположить положительную нижнюю границу для секционная кривизна. Таким образом, ключевой вклад Майерса состоял в том, чтобы показать, что нижняя граница Риччи - это все, что необходимо для того, чтобы прийти к такому же выводу.

Следствия

В заключении теоремы, в частности, говорится, что диаметр ${ displaystyle (M, g)}$ конечно. Следовательно, из теоремы Хопфа-Ринова следует, что ${ displaystyle M}$ должен быть компактным, как замкнутый (а значит, и компактный) шар радиуса ${ displaystyle pi / { sqrt {k}}}$ в любом касательном пространстве переносится на все ${ displaystyle M}$ экспоненциальным отображением.

Как очень частный случай, это показывает, что любое полное и некомпактное гладкое риманово многообразие, которое является Эйнштейном, должно иметь неположительную константу Эйнштейна.

Рассмотрим гладкое универсальное накрывающее отображение $π: N \to M$ . Можно рассматривать риманову метрику $π * грамм$ на $N$ . С $π$ является локальным диффеоморфизмом, теорема Майерса применима к риманову многообразию $(N, π * грамм)$ и поэтому $N$ компактный. Отсюда следует, что фундаментальная группа $M$ конечно.

Теорема жесткости диаметра Ченга

Вывод теоремы Майерса гласит, что для любого $п$ и $q$ в $M$ , надо $d грамм (п, q) \leq π / \sqrt k$ . В 1975 г. Шиу-Юэнь Чэн доказано:

Позволять $(M, грамм)$ полное и гладкое риманово многообразие размерности $п$ . Если $k$ положительное число с $Ric грамм \geq (п -1) k$ , а если существует $п$ и $q$ в $M$ с $d грамм (п, q) = π / \sqrt k$ , тогда $(M, грамм)$ односвязен и имеет постоянную секционная кривизна $k$ .

Смотрите также

Теорема Громова о компактности (геометрия)

Теорема Майерса - Myerss theorem

Содержание

Следствия

Теорема жесткости диаметра Ченга

Смотрите также

Рекомендации