Теорема о разделении паевого фонда - Mutual fund separation theorem

В теория портфеля, а теорема о разделении паевого фонда, теорема взаимного фонда, или теорема разделения это теорема заявляя, что при определенных условиях оптимальный портфель любого инвестора может быть построен путем владения каждым из определенных паевые инвестиционные фонды в соответствующих соотношениях, когда количество паевых инвестиционных фондов меньше количества отдельных активов в портфеле. Здесь взаимный фонд относится к любому указанному эталонному портфелю доступных активов. Теорема о взаимном фонде дает два преимущества. Во-первых, при соблюдении соответствующих условий инвестору может быть проще (или снизить транзакционные издержки) для инвестора приобрести меньшее количество паевых инвестиционных фондов, чем покупать большее количество активов по отдельности. Во-вторых, с теоретической и эмпирической точек зрения, если можно предположить, что соответствующие условия действительно выполняются, то последствия для функционирования рынков активов могут быть получены и протестированы.

Разделение портфеля в анализе среднего отклонения

Портфели можно анализировать в среднее отклонение структура, при которой каждый инвестор владеет портфелем с минимально возможной доходностью отклонение в соответствии с выбранным инвестором уровнем ожидаемый результат (называется портфель с минимальной дисперсией), если доходность активов эллиптически распределенный, включая особый случай, когда они совместно нормально распределенные.^[1][2] При анализе средней дисперсии можно показать^[3] что каждый портфель с минимальной дисперсией при определенной ожидаемой доходности (то есть каждый эффективный портфель) может быть сформирован как комбинация любых двух эффективных портфелей. Если оптимальный портфель инвестора имеет ожидаемую доходность, которая находится между ожидаемой доходностью двух эффективных эталонных портфелей, то этот портфель инвестора можно охарактеризовать как состоящий из положительных количеств двух эталонных портфелей.

Нет безрискового актива

Чтобы увидеть разделение двух фондов в контексте, в котором нет доступных безрисковых активов, используйте матричная алгебра, позволять ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ - дисперсия доходности портфеля, пусть ${\displaystyle \mu }$ - уровень ожидаемой доходности портфеля, при котором отклонение доходности портфеля должно быть минимизировано в зависимости от того, пусть ${\displaystyle r}$ быть вектор ожидаемой доходности имеющихся активов, пусть ${\displaystyle X}$ - вектор сумм, которые будут размещены в доступных активах, пусть ${\displaystyle W}$ быть количеством богатства, которое должно быть распределено в портфеле, и пусть ${\displaystyle 1}$ быть вектором единиц. Тогда проблема минимизации дисперсии доходности портфеля при заданном уровне ожидаемой доходности портфеля может быть сформулирована как

Свести к минимуму ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

при условии

${\displaystyle X^{T}r=\mu }$

и

${\displaystyle X^{T}1=W}$

где верхний индекс ${\displaystyle ^{T}}$ обозначает транспонировать матрицы. Дисперсию доходности портфеля в целевой функции можно записать как ${\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX,}$ где ${\displaystyle V}$ положительно определенный ковариационная матрица доходности отдельных активов. В Лагранжиан для этой задачи оптимизации с ограничениями (можно показать, что условия второго порядка выполняются)

${\displaystyle L=X^{T}VX+2\lambda (\mu -X^{T}r)+2\eta (W-X^{T}1),}$

с множителями Лагранжа ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \eta }$Это можно решить для оптимального вектора ${\displaystyle X}$ количества активов, приравняв к нулю производные относительно ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \lambda }$, и ${\displaystyle \eta }$, предварительно решив условие первого порядка для ${\displaystyle X}$ с точки зрения ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \eta }$, подставляя в другие условия первого порядка, решая для ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \eta }$ с точки зрения параметров модели, и подставив обратно в предварительное решение для ${\displaystyle X}$. Результат

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {W}{\Delta }}[(r^{T}V^{-1}r)V^{-1}1-(1^{T}V^{-1}r)V^{-1}r]+{\frac {\mu }{\Delta }}[(1^{T}V^{-1}1)V^{-1}r-(r^{T}V^{-1}1)V^{-1}1]}$

где

${\displaystyle \Delta =(r^{T}V^{-1}r)(1^{T}V^{-1}1)-(r^{T}V^{-1}1)^{2}>0.}$

Для простоты это можно записать более компактно как

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu }$

где ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ - векторы параметров, основанные на параметрах базовой модели. Теперь рассмотрим два эталонных эффективных портфеля, построенных с эталонной ожидаемой доходностью ${\displaystyle \mu _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$ и таким образом дается

${\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{1}}$

и

${\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{2}.}$

Оптимальный портфель при произвольной ${\displaystyle \mu _{3}}$ затем можно записать как средневзвешенное значение ${\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }}$ и ${\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }}$ следующим образом:

${\displaystyle X_{3}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{3}={\frac {\mu _{3}-\mu _{2}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{1}^{\mathrm {opt} }+{\frac {\mu _{1}-\mu _{3}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{2}^{\mathrm {opt} }.}$

Это уравнение доказывает теорему разделения двух фондов для анализа средней дисперсии. Для геометрической интерпретации см. пуля Марковица.

Один безрисковый актив

Если безрисковый актив доступен, то снова применима теорема разделения двух фондов; но в этом случае один из «фондов» может быть выбран как очень простой фонд, содержащий только безрисковый актив, а другой фонд может быть выбран как тот, который содержит нулевые авуары безрискового актива. (С безрисковым активом, именуемым «деньгами», эта форма теоремы упоминается как теорема денежного разделенияТаким образом, эффективные портфели с отклонением от среднего могут быть сформированы просто как комбинация владений безрискового актива и авуаров конкретного эффективного фонда, который содержит только рискованные активы. Однако приведенный выше вывод не применяется, поскольку для безрискового актива указанная выше ковариационная матрица всех доходов активов, ${\displaystyle V}$, будет иметь одну строку и один столбец нулей и, следовательно, не будет обратимым. Вместо этого проблема может быть установлена ​​как

Свести к минимуму ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

при условии

${\displaystyle (W-X^{T}1)r_{f}+X^{T}r=\mu ,}$

где ${\displaystyle r_{f}}$ известная доходность безрискового актива, ${\displaystyle X}$ теперь вектор величин, которые должны храниться в рискованно активы и ${\displaystyle r}$ - вектор ожидаемой доходности рискованных активов. Левая часть последнего уравнения - это ожидаемая доходность портфеля, поскольку ${\displaystyle (W-X^{T}1)}$ - это количество, содержащееся в безрисковом активе, что включает ограничение на добавление активов, которое в более ранней задаче требовало включения отдельного лагранжевого ограничения. Целевая функция может быть записана как ${\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX}$, где сейчас ${\displaystyle V}$ является ковариационной матрицей только рискованных активов. Можно показать, что эта оптимизационная задача дает оптимальный вектор владений рискованными активами.

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {(\mu -Wr_{f})}{(r-1r_{f})^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

Конечно, это равняется нулевому вектору, если ${\displaystyle \mu =Wr_{f}}$- доходность безрискового портфеля, и в этом случае все богатство хранится в безрисковом активе. Можно показать, что портфель с нулевыми запасами безрискового актива находится на ${\displaystyle \mu ={\tfrac {Wr^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}}$ и дается

${\displaystyle X^{*}={\frac {W}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

Также можно показать (аналогично демонстрации в приведенном выше случае с двумя взаимными фондами), что вектор рискованных активов каждого портфеля (то есть ${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }}$ для каждого значения ${\displaystyle \mu }$) может быть сформирована как взвешенная комбинация последнего вектора и нулевого вектора. Для геометрической интерпретации см. эффективный рубеж без безрисковых активов.

Разделение портфеля без анализа среднего отклонения

Если у инвесторов есть гиперболическое абсолютное неприятие риска (HARA) (включая функция полезности электроэнергии, логарифмическая функция и экспоненциальная функция полезности ), теоремы разделения могут быть получены без использования анализа средней дисперсии. Например, Дэвид Касс и Джозеф Стиглиц^[4] в 1970 году показали, что разделение денежных средств на два фонда применимо, если все инвесторы имеют полезность HARA с одинаковым показателем степени.^{[5]:глава 4}

Совсем недавно в динамической модели оптимизации портфеля Чанакоглу и Озекичи,^[6] уровень первоначального богатства инвестора (отличительная черта инвесторов) не влияет на оптимальный состав рискованной части портфеля. Аналогичный результат дает Шмеддерс.^[7]

использованная литература

1. Чемберлен, G (1983). «Характеристика распределений, которые подразумевают функции полезности средней дисперсии». Журнал экономической теории. 29: 185–201. Дои:10.1016/0022-0531(83)90129-1.
2. Owen, J .; Рабинович, Р. (1983). «О классе эллиптических распределений и их приложениях к теории выбора портфеля». Журнал финансов. 38 (3): 745–752. Дои:10.1111 / j.1540-6261.1983.tb02499.x.
3. Мертон, Роберт; Сентябрь (1972 г.). «Аналитический вывод границы эффективного портфеля» (PDF). Журнал финансового и количественного анализа. 7 (4): 1851–1872. Дои:10.2307/2329621. JSTOR  2329621.
4. Кэсс, Дэвид; Стиглиц, Джозеф (1970). «Структура предпочтений инвесторов и доходности активов, а также возможность разделения портфеля». Журнал экономической теории. 2 (2): 122–160. Дои:10.1016/0022-0531(70)90002-5.
5. Хуанг, Чи-фу и Роберт Х. Литценбергер, Основы финансовой экономики, Северная Голландия, 1988.
6. Чанакоглу, Этхем; Озекичи, Сулейман (2010). «Выбор портфеля на стохастических рынках с функциями полезности HARA». Европейский журнал операционных исследований. 201 (2): 520–536. Дои:10.1016 / j.ejor.2009.03.017.
7. Шмеддерс, Карл Х. (15 июня 2006 г.) «Разделение двух фондов в динамическом общем равновесии», Серия рабочих документов SSRN. https://ssrn.com/abstract=908587