Экспоненциальная полезность - Exponential utility

Функция экспоненциальной полезности для различных профилей риска

В экономика и финансы, экспоненциальная полезность это особая форма вспомогательная функция, используется в некоторых контекстах из-за удобства, когда риск (иногда называемая неопределенностью) присутствует, и в этом случае ожидаемая полезность максимально. Формально экспоненциальная полезность определяется выражением:

${\displaystyle u(c)={\begin{cases}(1-e^{-ac})/a&a\neq 0\\c&a=0\\\end{cases}}}$

${\displaystyle c}$ переменная, которую лицо, принимающее экономические решения, предпочитает больше, например потребление, и ${\displaystyle a}$ - константа, представляющая степень предпочтения риска (${\displaystyle a>0}$ за предотвращение риска, ${\displaystyle a=0}$ для нейтральности к риску, или ${\displaystyle a<0}$ за стремление к риску ). В ситуациях, когда только предотвращение риска допускается, формулу часто упрощают до ${\displaystyle u(c)=1-e^{-ac}}$.

Обратите внимание, что аддитивный член 1 в приведенной выше функции не имеет математического отношения и (иногда) включается только для эстетической особенности, заключающейся в том, что он сохраняет диапазон функции между нулем и единицей в области неотрицательных значений для c. Причина его неактуальности в том, что максимизация ожидаемой ценности полезности ${\displaystyle u(c)=(1-e^{-ac})/a}$ дает тот же результат для переменной выбора, что и максимизация ожидаемого значения ${\displaystyle u(c)=-e^{-ac}/a}$; поскольку ожидаемые значения полезности (в отличие от самой функции полезности) интерпретируются обычно вместо кардинально, диапазон и знак ожидаемых значений полезности не имеют значения.

Экспоненциальная функция полезности - это частный случай гиперболическое абсолютное неприятие риска служебные функции.

Характеристика неприятия риска

Экспоненциальная полезность подразумевает постоянное абсолютное неприятие риска (CARA), с коэффициентом абсолютного неприятия риска, равным константе:

${\displaystyle {\frac {-u''(c)}{u'(c)}}=a.}$

В стандартной модели одного рискованного актива и одного безрискового актива^[1][2] например, эта особенность подразумевает, что оптимальное владение рискованным активом не зависит от уровня первоначального богатства; таким образом, на марже любое дополнительное богатство будет полностью распределяться на дополнительные активы безрискового актива. Эта особенность объясняет, почему экспоненциальная функция полезности считается нереалистичной.

Математическая сговорчивость

Хотя изоупругая полезность, выставляя постоянный относительный неприятие риска (CRRA), считается более правдоподобным (как и другие функции полезности, демонстрирующие уменьшение абсолютного неприятия риска), экспоненциальная полезность особенно удобна для многих расчетов.

Пример потребления

Например, предположим, что потребление c это функция предложения труда Икс и случайный термин ${\displaystyle \epsilon }$: c = c(Икс) + ${\displaystyle \epsilon }$. Тогда при экспоненциальной полезности ожидаемая полезность дан кем-то:

${\displaystyle {\text{E}}(u(c))={\text{E}}[1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}],}$

где E - ожидание оператор. С нормально распределенный шум, т.е.

${\displaystyle \varepsilon \sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\!}$

E (ты(c)) легко вычисляется, используя тот факт, что

${\displaystyle {\text{E}}[e^{-a\varepsilon }]=e^{-a\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}.}$

Таким образом

${\displaystyle {\text{E}}(u(c))={\text{E}}[1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}]={\text{E}}[1-e^{-ac(x)}e^{-a\varepsilon }]=1-e^{-ac(x)}{\text{E}}[e^{-a\epsilon }]=1-e^{-ac(x)}e^{-a\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}.}$

Пример мультиактивного портфеля

Рассмотрим проблема распределения портфеля максимизации ожидаемой экспоненциальной полезности ${\displaystyle {\text{E}}[-e^{-aW}]}$ окончательного богатства W при условии

${\displaystyle W=x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}}$

где штрих указывает на вектор транспонировать и где ${\displaystyle W_{0}}$ начальное богатство, Икс - вектор-столбец величин, помещенных в п рискованные активы, р это случайный вектор из стохастический возвращается на п ресурсы, k вектор единиц (так что ${\displaystyle W_{0}-x'k}$ - количество, размещенное в безрисковом активе), и р_ж - известная скалярная доходность безрискового актива. Предположим далее, что стохастический вектор р является совместно нормально распределенные. Тогда ожидаемую полезность можно записать как

${\displaystyle {\text{E}}[-e^{-aW}]=-{\text{E}}[e^{-a[x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}]}]=-e^{-a[(W_{0}-x'k)r_{f}]}{\text{E}}[e^{-a\cdot x'r}]=-e^{-a[(W_{0}-x'k)r_{f}]}e^{-a\cdot x'\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}}$

куда ${\displaystyle \mu }$ - средний вектор вектора р и ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ это дисперсия окончательного богатства. Максимизация этого равносильна минимизации

${\displaystyle e^{ar_{f}(x'k)-a\cdot x'\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}},}$

что, в свою очередь, эквивалентно максимизации

${\displaystyle x'(\mu -r_{f}\cdot k)-{\frac {a}{2}}\sigma ^{2}.}$

Обозначая ковариационная матрица из р в качестве V, дисперсия ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ конечного богатства можно записать как ${\displaystyle x'Vx}$. Таким образом, мы хотим максимизировать следующее относительно вектора выбора Икс количества размещаемых в рискованных активах:

${\displaystyle x'(\mu -r_{f}\cdot k)-{\frac {a}{2}}\cdot x'Vx.}$

Это простая проблема в матричное исчисление, и ее решение

${\displaystyle x^{*}={\frac {1}{a}}V^{-1}(\mu -r_{f}\cdot k).}$

Из этого видно, что (1) холдинги Икс* рисковых активов не влияет первоначальное богатство W₀, нереалистичная собственность, и (2) владение каждым рискованным активом тем меньше, чем больше параметр неприятия риска а (как и следовало ожидать). В этом примере портфеля показаны две ключевые особенности экспоненциальной полезности: управляемость в условиях общей нормальности и отсутствие реализма из-за ее свойства постоянного абсолютного неприятия риска.

Смотрите также

• Мера энтропийного риска
• Изоупругая (степенная) функция полезности

Рекомендации

1. Эрроу, К. Дж. (1965). Теория неприятия риска. Аспекты теории риска. Хельсинки: Yrjo Jahnssonin Saatio. Печатается на: Очерки теории риска, Markham Publ. Co., Чикаго, 1971, 90–109.
2. Пратт, Дж. У. (1964). «Неприятие риска в малом и в большом». Econometrica. 32 (1–2): 122–136. JSTOR  1913738.