Многомерное неравенство Чебышева. - Multidimensional Chebyshevs inequality

В теория вероятности, то многомерное неравенство Чебышева является обобщением Неравенство Чебышева, что ограничивает вероятность того, что случайная переменная отличается от своего ожидаемое значение более чем на указанную сумму.

Позволять Икс быть N-размерный случайный вектор с ожидаемое значение ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]}$ и ковариационная матрица

${\displaystyle V=\operatorname {E} [(X-\mu )(X-\mu )^{T}].\,}$

Если ${\displaystyle V}$ это положительно определенная матрица, для любого настоящий номер ${\displaystyle t>0}$:

${\displaystyle \Pr \left({\sqrt {(X-\mu )^{T}V^{-1}(X-\mu )}}>t\right)\leq {\frac {N}{t^{2}}}}$

Доказательство

С ${\displaystyle V}$ положительно определен, так же ${\displaystyle V^{-1}}$. Определите случайную величину

${\displaystyle y=(X-\mu )^{T}V^{-1}(X-\mu ).}$

С ${\displaystyle y}$ положительный, Неравенство Маркова держит:

${\displaystyle \Pr \left({\sqrt {(X-\mu )^{T}V^{-1}(X-\mu )}}>t\right)=\Pr({\sqrt {y}}>t)=\Pr(y>t^{2})\leq {\frac {\operatorname {E} [y]}{t^{2}}}.}$

Ну наконец то,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [y]&=\operatorname {E} [(X-\mu )^{T}V^{-1}(X-\mu )]\\[6pt]&=\operatorname {E} [\operatorname {trace} (V^{-1}(X-\mu )(X-\mu )^{T})]\\[6pt]&=\operatorname {trace} (V^{-1}V)=N\end{aligned}}.}$