Лемма Морса – Пале. - Morse–Palais lemma

В математика, то Лемма Морса – Пале. это результат вариационное исчисление и теория Гильбертовы пространства. Грубо говоря, в нем говорится, что гладкий довольно функция вблизи критической точки можно выразить как квадратичная форма после подходящей смены координат.

Лемма Морса – Пале была первоначально доказана в конечномерном случае Американец математик Марстон Морс, с использованием Процесс ортогонализации Грама – Шмидта. Этот результат играет решающую роль в Теория Морса. Обобщение на гильбертовы пространства связано с Ричард Пале и Стивен Смейл.

Утверждение леммы

Позволять (ЧАС, 〈,〉) Быть настоящий Гильбертово пространство, и пусть U быть открытый район из 0 в ЧАС. Позволять ж : U → р быть (k + 2) -раз непрерывно дифференцируемая функция с k ≥ 1, т.е. ж ∈ C^k+2(U; р). Предположить, что ж(0) = 0 и что 0 - невырожденная критическая точка из ж, т.е. вторая производная D²ж(0) определяет изоморфизм из ЧАС с этими непрерывное двойное пространство ЧАС^∗ к

${\displaystyle H\ni x\mapsto \mathrm {D} ^{2}f(0)(x,-)\in H^{*}.}$

Тогда существует подобласть V из 0 в U, а диффеоморфизм φ : V → V то есть C^k с C^k обратный, и обратимый симметричный оператор А : ЧАС → ЧАС, так что

${\displaystyle f(x)=\langle A\varphi (x),\varphi (x)\rangle }$

для всех Икс ∈ V.

Следствие

Позволять ж : U → р быть C^k+2 такая, что 0 - невырожденная критическая точка. Тогда существует C^k-с-C^k-обратный диффеоморфизм ψ : V → V и ортогональное разложение

${\displaystyle H=G\oplus G^{\perp },}$

так что, если кто-то пишет

${\displaystyle \psi (x)=y+z{\mbox{ with }}y\in G,z\in G^{\perp },}$

тогда

${\displaystyle f(\psi (x))=\langle y,y\rangle -\langle z,z\rangle }$

для всех Икс ∈ V.

Рекомендации

• Ланг, Серж (1972). Дифференциальные коллекторы. Ридинг, Массачусетс - Лондон - Дон Миллс, Онтарио: Addison - Wesley Publishing Co., Inc.