Минимальный контрпример - Minimal counterexample

В математика, а минимальный контрпример является наименьшим примером фальсификации иска, а доказательство минимальным контрпримером является методом доказательства, сочетающим использование минимального контрпримера с идеями Доказательство по индукции и доказательство от противного.[1][2][3] Более конкретно, пытаясь доказать предположение п, сначала предполагается от противного, что оно ложно, и поэтому должен быть хотя бы один контрпример. Что касается некоторого представления о размере (которое, возможно, потребуется тщательно выбирать), тогда можно сделать вывод, что существует такой контрпример. C то есть минимальный. Что касается аргумента, C вообще что-то довольно гипотетическое (так как истинность п исключает возможность C), но можно утверждать, что если C существует, то оно будет обладать некоторыми определенными свойствами, которые после применения некоторых рассуждений, аналогичных рассуждениям в индуктивном доказательстве, привели бы к противоречию, тем самым показывая, что предложение п действительно правда.[4]

Если форма противоречия такова, что мы можем вывести следующий контрпример D, что меньше, чем C в смысле рабочей гипотезы минимальности, то эту технику традиционно называют доказательство бесконечным спуском.[1] В этом случае может быть несколько и более сложных способов структурировать аргументы доказательства.

Предположение, что если есть контрпример, есть минимальный контрпример, основано на хороший порядок какой-то. Обычный заказ на натуральные числа очевидно возможно, по самой обычной формулировке математическая индукция; но область применения метода может включать упорядоченная индукция любого вида.

Примеры

Метод минимального контрпримера широко использовался в классификация конечных простых групп. В Теорема Фейта – Томпсона, что конечные простые группы, не являющиеся циклические группы имеют четный порядок, было основано на гипотезе о некоторой и, следовательно, некоторой минимальной простой группе грамм нечетного порядка. Каждая собственная подгруппа группы грамм можно предположить разрешимая группа, а это означает, что можно применить много теории таких подгрупп.

Евклид доказал основную теорему арифметики является простым доказательством, использующим минимальный контрпример.[5][6]

Рекомендации

  1. ^ а б "Окончательный словарь высшего математического жаргона". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-11-28.
  2. ^ Чартран, Гэри, Альберт Д. Полимени и Пинг Чжан. Математические доказательства: переход к высшей математике. Бостон: Pearson Education, 2013. Печать.
  3. ^ Клиппер, Майкл (осень 2012 г.). «Доказательство минимальным контрпримером» (PDF). alpha.math.uga.edu. Получено 2019-11-28.[мертвая ссылка ]
  4. ^ Льюис, Том (осень 2010 г.). «§20 Наименьший контрпример» (PDF). math.furman.edu. Получено 2019-11-28.
  5. ^ "Основная теорема арифметики | Делимость и индукция | Подпольная математика". Undergroundmat Mathematics.org. Получено 2019-11-28.
  6. ^ «Основная теорема арифметики». www.dpmms.cam.ac.uk. Получено 2019-11-28.