Теорема Милльмана - Millmans theorem

В электротехника, Теорема Миллмана^[1] (или теорема о параллельных генераторах) - метод упрощения решения схема. В частности, теорема Миллмана используется для вычисления Напряжение на концах цепи, состоящей только из ветви параллельно.

Он назван в честь Джейкоб Миллман, доказавший теорему.

Объяснение

Применение теоремы Миллмана

Пусть e_k быть напряжением генераторы. Позволять ${\displaystyle R_{k}}$ быть сопротивлениями на ветвях с генераторами напряжения ${\displaystyle e_{k}}$. Затем Миллман заявляет, что напряжение на концах цепи определяется выражением:^[2]

${\displaystyle v={\frac {\sum {\frac {e_{k}}{R_{k}}}}{\sum {\frac {1}{R_{k}}}}}.}$

То есть сумма короткое замыкание токи в ветви, деленные на сумму проводимости в каждой ветви.

Это можно доказать, рассматривая схему как единый надузел.^[3] Тогда, согласно Ом и Кирхгоф, напряжение между концами цепи равно полному току, входящему в суперузл, деленному на полную эквивалентную проводимость суперузла. Полный ток - это сумма токов в каждой ветви. Общий эквивалент проводимость надузла - это сумма проводимости каждой ветви, поскольку все ветви параллельны.^[4]

Варианты веток

Текущие источники

Один из методов вывода теоремы Миллмана начинается с преобразования всех ветвей в источники тока (что можно сделать, используя Теорема Нортона ). Ветвь, которая уже является текущим источником, просто не конвертируется. В приведенном выше выражении это эквивалентно замене ${\displaystyle e_{k}/R_{k}}$ член в числителе выражения выше с током генератора тока, где k-я ветвь - ветвь с генератором тока. Параллельная проводимость источника тока добавляется к знаменателю, как и последовательная проводимость источников напряжения. An идеальный источник тока имеет нулевую проводимость (бесконечное сопротивление) и поэтому ничего не добавляет к знаменателю.^[5]

Идеальные источники напряжения

Если одна из ветвей является идеальным источником напряжения, теорему Миллмана использовать нельзя, но в этом случае решение тривиально, напряжение на выходе принудительно равно напряжению идеального источника напряжения. Теорема не работает с идеальными источниками напряжения, потому что такие источники имеют нулевое сопротивление (бесконечную проводимость), поэтому сумма числителя и знаменателя бесконечна, а результат неопределен.^[6]

Смотрите также

• Анализ резистивных цепей

Рекомендации

1. Миллман, Джейкоб (1940). «Полезная сетевая теорема». Труды IRE. 28 (9): 413–417. Дои:10.1109 / JRPROC.1940.225885.
2. Бакши и Бакши, стр. 7-28
3. Бакши и Бакши, стр. 3-7
4. Гош и Чакраборти, стр. 172
5. Вадхва, стр. 88
6. Сингх, стр. 64

• Bakshi, U.A .; Бакши, А.В., Сетевой анализ, Технические публикации, 2009 г. ISBN  818431731X.
• Ghosh, S.P .; Чакраборти, А.К., Сетевой анализ и синтез, Тата МакГроу-Хилл, 2010 г. ISBN  0070144788.
• Сингх, С.Н., Базовая электротехника, PHI Learning, 2010 г. ISBN  8120341880.
• Вадхва, C.L., Сетевой анализ и синтез, New Age International ISBN  8122417531'