Алгоритм повторения Миллера - Millers recurrence algorithm

Алгоритм повторения Миллера представляет собой процедуру вычисления быстро убывающего решения линейной отношение повторения разработан Дж. С. П. Миллер.^[1] Первоначально он был разработан для расчета таблиц модифицированных Функция Бесселя^[2] но также применяется к функциям Бесселя первого рода и имеет другие приложения, такие как вычисление коэффициентов Чебышевские разложения других специальных функций.^[3]

Многие семейства специальных функций удовлетворяют рекуррентному соотношению, которое связывает значения функций разных порядков с общим аргументом ${\displaystyle x}$.

Модифицированные функции Бесселя первого рода ${\displaystyle I_{n}(x)}$ удовлетворяют рекуррентному соотношению

${\displaystyle I_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}I_{n}(x)+I_{n+1}(x)}$.

Однако модифицированные функции Бесселя второго рода ${\displaystyle K_{n}(x)}$ также удовлетворяют тому же рекуррентному соотношению

${\displaystyle K_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}K_{n}(x)+K_{n+1}(x)}$.

Первое решение быстро убывает с ${\displaystyle n}$. Второе решение быстро увеличивается с увеличением ${\displaystyle n}$. Алгоритм Миллера обеспечивает численно устойчивую процедуру для получения убывающего решения.

Чтобы вычислить сроки повторения ${\displaystyle a_{0}}$ через ${\displaystyle a_{N}}$ согласно алгоритму Миллера, сначала выбирается значение ${\displaystyle M}$ намного больше, чем ${\displaystyle N}$ и вычисляет пробное решение с начальным условием${\displaystyle a_{M}}$ к произвольному ненулевому значению (например, 1) и взяв ${\displaystyle a_{M+1}}$ и более поздние члены равны нулю. Затем рекуррентное соотношение используется для последовательного вычисления пробных значений для ${\displaystyle a_{M-1}}$, ${\displaystyle a_{M-2}}$ вплоть до ${\displaystyle a_{0}}$. Отметив, что вторая последовательность, полученная из пробной последовательности путем умножения на постоянный нормализующий коэффициент, по-прежнему будет удовлетворять тому же рекуррентному соотношению, затем можно применить отдельное нормализующее отношение для определения нормализующего коэффициента, который дает фактическое решение.

В примере модифицированных функций Бесселя подходящим нормирующим соотношением является суммирование с участием четных членов рекуррентности:

${\displaystyle I_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}I_{2m}(x)=1}$

где бесконечное суммирование становится конечным из-за приближения, что ${\displaystyle a_{M+1}}$ и более поздние сроки равны нулю.

Наконец, подтверждается, что ошибка аппроксимации процедуры приемлема, повторением процедуры со вторым выбором ${\displaystyle M}$ больше, чем первоначальный выбор, и подтверждая, что второй набор результатов для ${\displaystyle a_{0}}$ через ${\displaystyle a_{N}}$ согласитесь в пределах первого набора в пределах желаемого допуска. Обратите внимание, что для получения этого соглашения значение ${\displaystyle M}$ должен быть достаточно большим, чтобы термин ${\displaystyle a_{M}}$ мала по сравнению с желаемым допуском.

В отличие от алгоритма Миллера, пытается применить рекуррентное соотношение в прямом направлении, начиная с известных значений ${\displaystyle I_{0}(x)}$ и ${\displaystyle I_{1}(x)}$ полученные другими методами не будут выполнены, поскольку ошибки округления вводят компоненты быстро возрастающего решения.^[4]

Olver^[2] и Гаучи^[5] подробно анализирует распространение ошибок алгоритма.

Для функций Бесселя первого рода эквивалентное рекуррентное соотношение и нормализующее отношение:^[6]

${\displaystyle J_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}J_{n}(x)-J_{n+1}(x)}$

${\displaystyle J_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }J_{2m}(x)=1}$.

Алгоритм особенно эффективен в приложениях, требующих значений функций Бесселя для всех порядков. ${\displaystyle 0\cdots N}$ для каждого значения ${\displaystyle x}$ по сравнению с прямыми независимыми вычислениями ${\displaystyle N+1}$ отдельные функции.

Рекомендации

1. Bickley, W.G .; Комри, L.J .; Sadler, D.H .; Miller, J.C.P .; Томпсон, А.Дж. (1952). Британская ассоциация развития науки, Математические таблицы, т. X, Функции Бесселя, часть II, Функции положительного целого порядка. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521043212., цитируется по Olver (1964)
2. Olver, F.W.J. (1964). "Анализ ошибок алгоритма повторения Миллера". Математика. Comp. 18 (85): 65–74. Дои:10.2307/2003406. JSTOR  2003406.
3. Немет, Г. (1965). "Разложения Чебышева для интегралов Френеля". Нумер. Математика. 7 (4): 310–312. Дои:10.1007 / BF01436524.
4. Харт, Дж. Ф. (1978). Компьютерные приближения (переиздание ред.). Малабар, Флорида: Роберт Э. Кригер. С. 25–26. ISBN  978-0-88275-642-4.
5. Гаучи, Уолтер (1967). «Вычислительные аспекты трехчленных рекуррентных соотношений» (PDF). SIAM Обзор. 9: 24–82. Дои:10.1137/1009002.
6. Арфкен, Джордж (1985). Математические методы для физиков (3-е изд.). Академическая пресса. п.576. ISBN  978-0-12-059820-5.