Математика: потеря уверенности - Mathematics: The Loss of Certainty

Математика: потеря уверенности

Автор	Моррис Клайн
Издатель	Oxford University Press
Дата публикации	1980
Страницы	366
ISBN	0-19-502754-X
OCLC	6042956
С последующим	Математика и поиск знаний

Математика: потеря уверенности это книга Моррис Клайн о перспективах развития математических культур на протяжении веков.^[1]

В этой книге прослеживается история того, как новые результаты в математике на протяжении веков преподносили математикам сюрпризы. Примеры включают в себя то, как математики 19-го века были удивлены открытием неевклидова геометрия и как Теорема Гёделя о неполноте разочаровал многих логиков.

Клайн также обсуждает близкие отношения некоторых из самых выдающихся математиков, таких как Ньютон и Лейбниц к Бог. Он считает, что религиозные интересы Ньютона были истинной мотивацией его математической и научной работы. Он цитирует Ньютона из письма преподобному. Ричард Бентли от 10 декабря 1692 г .:

Когда я написал свой трактат о нашей системе Математические основы естественной философии, Я наблюдал за такими принципами, которые могли бы работать при рассмотрении людей как веры в Божество; и ничто не может радовать меня больше, чем то, что я считаю его полезным для этой цели.

Он также считает Лейбниц считал науку религиозной миссией, которую ученые обязаны выполнять. Клайн цитирует Лейбница из недатированного письма 1699 или 1700 года:

Мне кажется, что главной целью всего человечества должно быть познание и развитие чудес Божьих, и именно по этой причине Бог дал ему империю земного шара.

Клайн также утверждает, что попытка создать универсально приемлемый, логически прочный корпус математики потерпела неудачу. Он считает, что сегодня большинство математиков не работают над приложениями. Вместо этого они продолжают давать новые результаты в чистой математике все более быстрыми темпами.

Критика

В рецензиях на эту книгу ряд специалистов, отдавая должное мировоззрению автора, обвиняют его в необъективной эмоциональности, нечестности и некомпетентности.

В частности, Раймонд Г. Аюб в «Американском математическом ежемесячнике»^[2] пишет:

На протяжении веков евклидова геометрия казалась хорошей моделью пространства. Результаты были и до сих пор эффективно используются в астрономии и навигации. Когда он был подвергнут тщательному изучению формализма, было обнаружено, что у него есть слабые места, и интересно отметить, что на этот раз именно тщательное изучение формализма привело к открытию (некоторые сказали бы, изобретению) не- Евклидова геометрия. (Несколько лет спустя была разработана удовлетворительная евклидова модель.)

Этот писатель не понимает, почему это открытие, по словам Клайна, было «фиаско». Напротив, это не великий триумф? ...

Профессор Клайн не ведет честные отношения со своими читателями. Он образованный человек и прекрасно знает, что многие математические идеи, созданные абстрактно, нашли существенное применение в реальном мире. Он предпочитает игнорировать этот факт, признанный даже самыми фанатичными противниками математики. Он делает это, чтобы поддержать несостоятельную догму. Вспоминается история придворного шута Людовику XIV: последний написал стихотворение и спросил у шута его мнение. «Ваше величество способно на все. Ваше величество намеревается писать упорство, и ваше величество преуспело». В целом такое, увы, нужно сказать об этой книге.

Джон Коркоран в «Математических обзорах»:^[3]

Общая цель книги - продвигать в качестве философии математики менталистский прагматизм, превозносящий «прикладную математику» и очерняющий как «чистую математику», так и фундаментальные исследования. Хотя ее тезис частично основан на глубоких фундаментальных достижениях логиков двадцатого века, основная философия является близким родственником различных философий, оказавших влияние в девятнадцатом веке. Более того, как видно из вышеперечисленных идей, авторское понимание логики ХХ века ненадежно. Соответственно, он находит удивительным (стр. 322, 323), что Гильберт, Гедель, Черч, члены школы Бурбаки и другие «лидеры в работе по основам» утверждают, что математические концепции и свойства существуют в некотором объективном смысле и что они могут быть постигнутыми человеческим разумом ". Его единственный аргумент против платонического реализма только что упомянутых математиков основан на его собственной неспособности провести различие между (человеческой) ошибкой и (математической) ложью (стр. 324) ...

Автор, кажется, не понимает, что для того, чтобы иметь знание, не обязательно быть непогрешимым, и он не осознает, что потеря уверенности - это не то же самое, что потеря истины. Философские и основополагающие аспекты аргументации автора вплетены в всеобъемлющий обзор и интерпретацию истории математики. Можно было бы надеяться, что аргумент будет в какой-то мере оправдан серьезными историческими исследованиями, но это не так. Оба периода, наиболее важные для авторской точки зрения, трактуются противоречиво. (а) В некоторых отрывках автор признает очевидную истину, что опыт и наблюдение сыграли ключевую роль в развитии классической греческой математики (стр. 9, 18, 24, 167). Но в других отрывках он утверждает, что классические греческие математики пренебрегали опытом и наблюдениями, основывая свои теории на «самоочевидных истинах» (стр. 17, 20, 21, 22, 29, 95, 307). (б) В некоторых отрывках автор изображает начало девятнадцатого века как время повсеместной уверенности в правильности математики (стр. 6, 68, 78, 103, 173), но в других отрывках он описывает этот период как время интеллектуальных потрясений, когда математики испытывали серьезные сомнения относительно основы своей науки (стр. 152, 153, 170, 308) ...

Можно только сожалеть о философских, фундаментальных и исторических недостатках, которые искажают основной аргумент и имеют тенденцию отвлекать внимание от многих здравых и увлекательных наблюдений и идей, содержащихся в книге.

Эми Дахан в "Revue d'histoire des Sciences":^[4]

Quant aux derniers chapitres sur les grandes tenances des mathématiques contemporaines, ils sont franchement décevants, Assez superficiels. Il n'y a pas d'analyse de la mathématique contemporaine (grande période structureiste, retour au «concret», flux entre les mathématiques et la Physique и т. Д.

Скотт Вайнштейн в "ETC: Обзор общей семантики":^[5]

Книга профессора Клайна - живое изложение увлекательной темы. Однако его выводы преувеличены и во многих случаях необоснованны. Урок, который следует извлечь из фундаментальных исследований двадцатого века, заключается не в том, что математика находится в плачевном состоянии, а в том, в какой степени глубокие философские вопросы о математике могут быть освещены, если не решены, самой математикой. Теоремы Гёделя действительно указывают на то, что могут быть пределы тому, что мы можем узнать в математике, но они также демонстрируют через себя те огромные высоты, на которые человеческий разум может подняться с помощью математической мысли.

Ян Стюарт в "Образовательных исследованиях по математике":^[6]

Эта книга строго придерживается традиций, которых мы ожидаем от автора; и моя реакция на это очень похожа на мою реакцию на его предшественников: я считаю, что три четверти из них превосходны, а другая четверть - возмутительная чепуха; и причина в том, что Моррис Клайн действительно не понимает, что такое сегодняшняя математика, хотя у него есть завидное представление о вчерашнем ...

Моррис Клайн в другом месте сказал, что считает главным достижением математики двадцатого века теорему Гёделя. Я не согласен: теорема Гддела, сколь бы удивительной и глубокой она ни была, мало повлияла на основное направление развития реальной математики. На самом деле это не привело ни к чему новому и мощному, кроме множества теорем того же типа. Это повлияло на то, как математики думают о том, что они делают; но его влияние на то, что они на самом деле делали, близко к нулю. Сравните это с ростом топологии: пятьдесят лет явно интровертных усилий математиков, в значительной степени игнорирующих прикладную науку; отшлифован, усовершенствован и превратился в совокупность техники огромной и все еще большей нереализованной силы; и в последнее десятилетие становится важным практически во всех областях прикладной науки: инженерии, физике, химии, численном анализе. Топология гораздо больше претендует на звание главного достижения этого века.

Но Моррис Клайн видит только интроверсию. Ему, кажется, не приходит в голову, что математическая проблема может потребовать сосредоточенного размышления о математике, а не о проблеме, к которой человек надеется применить полученную теорию, чтобы получить удовлетворительное решение. Но если я хочу срубить яблоню, а моя пила слишком тупая, никакое созерцание дерева не заострит ее ...

Есть хорошая математика; там плохая математика. Есть математики, которые совершенно не интересуются наукой, которые создают инструменты, которые науке будут необходимы. Есть математики, страстно интересующиеся наукой и созданием инструментов для конкретного использования, работа которых станет столь же устаревшей, как цеппелин или электронный клапан. Путь от открытия к полезности - это кроличье логово ложных целей: математика сама по себе занимала и будет занимать свое место в схеме вещей. И, в конце концов, изоляция тополога, который не знает физики, не хуже, чем изоляция физика, который не знает топологии. Сегодняшняя наука требует от отдельных лиц специализации: коллективная деятельность ученых в целом - это то место, где устанавливаются связи. Если бы только Моррис Клайн продемонстрировал некоторое представление о природе этого процесса, я бы отнесся к его аргументам более серьезно. Но его утверждение о том, что математика пришла в упадок, слишком сильно основано на невежестве, а его аргументы выглядят безвкусными по сравнению с изумительной, сияющей энергией современной математики. Я тоже хотел бы, чтобы математики более открыто признавали важность научных проблем; но упустить тот факт, что они проделывают великолепную работу даже в этой кажущейся изоляции, - значит проиграть битву до того, как она начнется.

Библиография

• Моррис Клайн, Математика: потеря уверенности, Oxford University Press, 1980 г. ISBN  0-19-502754-X

Примечания

1. Джон Литтл (1981) Рассмотрение:Математика: потеря уверенности, Новый ученый 15 января 1981 г., ссылка с Google Книги
2. Раймонд Г. Аюб, The American Mathematical Monthly, Vol. 89, № 9 (ноябрь 1982 г.), стр. 715–717
3. Джон Коркоран, Mathematical Reviews, MR584068 (82e: 03013).
4. Эми Дахан-Далмедико, Revue d'histoire des Sciences, Vol. 36, No. 3/4 (JUILLET-DÉCEMBRE 1983), стр. 356–358.
5. Скотт Вайнштейн, ETC: Обзор общей семантики, Vol. 38, № 4 (зима 1981), стр. 425–430
6. Ян Стюарт, Образовательные исследования по математике, Vol. 13, № 4 (ноябрь 1982 г.), стр. 446–447

дальнейшее чтение

• «Обзор математики: потеря уверенности». The Wilson Quarterly (1976–). 5 (2): 160–161. 1981-01-01. JSTOR  40256113.
• Вайнштейн, Скотт (1981-01-01). Клайн, Моррис; Кляйне (ред.). «ПОТЕРЯ Уверенности». ETC: обзор общей семантики. 38 (4): 425–430. JSTOR  42575575.
• Лонг, Кальвин Т. (01.01.1981). «Обзор математики: потеря уверенности (L)». Учитель математики. 74 (3): 234–235. JSTOR  27962408.
• Боас, Р. П. (1981-01-01). Клайн, Моррис (ред.). «Тем не менее, давайте продолжим работу». Двухлетний математический журнал колледжа. 12 (2): 141–142. Дои:10.2307/3027376. JSTOR  3027376.
• Губерман, Дж. (1983-01-01). «Обзор математики: потеря уверенности». Леонардо. 16 (4): 328–328. Дои:10.2307/1574971. JSTOR  1574971.
• Стюарт, Ян (1 января 1982 г.). «Обзор математики, потеря уверенности». Образовательные исследования по математике. 13 (4): 446–447. JSTOR  3482328.
• Дахан-Далмедико, Эми (1 января 1983 г.). «Обзор математики, потеря уверенности». Revue d'histoire des Sciences. 36 (3/4): 356–358. JSTOR  23632221.
• Квадлинг, Дуглас (1981-01-01). «Обзор математики: потеря уверенности». Математический вестник. 65 (434): 300–301. Дои:10.2307/3616614. JSTOR  3616614.
• Роблес, Дж. А. (1981-01-01). «Обзор математики, потеря уверенности». Crítica: Revista Hispanoamericana de Filosofía. 13 (39): 87–91. JSTOR  40104258.
• Аюб, Раймонд Г. (1982-01-01). «Обзор математики: потеря уверенности». Американский математический ежемесячник. 89 (9): 715–717. Дои:10.2307/2975679. JSTOR  2975679.