Неравенство Машреги – Рэнсфорда - Mashreghi–Ransford inequality

В Математика, то Неравенство Машреги – Рэнсфорда ограничивает скорость роста некоторых последовательности. Он назван в честь Дж. Машреги и Т. Рэнсфорд.

Позволять ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}}$ быть последовательностью сложные числа, и разреши

${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a_{k},\qquad (n\geq 0),}$

и

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k},\qquad (n\geq 0).}$

Напоминаем, что биномиальные коэффициенты определены

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

Предположим, что для некоторых ${\displaystyle \beta >1}$, у нас есть ${\displaystyle b_{n}=O(\beta ^{n})}$ и ${\displaystyle c_{n}=O(\beta ^{n})}$ в качестве ${\displaystyle n\to \infty }$. потом

${\displaystyle a_{n}=O(\alpha ^{n})}$, так как ${\displaystyle n\to \infty }$,

куда ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\beta ^{2}-1}}.}$

Более того, есть универсальная постоянная ${\displaystyle \kappa }$ такой, что

${\displaystyle \left(\limsup _{n\to \infty }{\frac {|a_{n}|}{\alpha ^{n}}}\right)\leq \kappa \,\left(\limsup _{n\to \infty }{\frac {|b_{n}|}{\beta ^{n}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left(\limsup _{n\to \infty }{\frac {|c_{n}|}{\beta ^{n}}}\right)^{\frac {1}{2}}.}$

Точное значение ${\displaystyle \kappa }$ неизвестно. Однако известно, что

${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\leq \kappa \leq 2.}$

Рекомендации

• Mashreghi, J .; Рэнсфорд, Т. (2005). «Биномиальные суммы и функции экспоненциального типа». Бык. Лондонская математика. Soc. 37 (01): 15–24..