Метод Маколея - Macaulays method

Метод Маколея (метод двойного интегрирования) это техника, используемая в структурный анализ определить отклонение из Лучи Эйлера-Бернулли. Использование техники Маколея очень удобно для случаев прерывистой и / или дискретной нагрузки. Обычно с помощью этого метода удобно обрабатывать частичные равномерно распределенные нагрузки (u.d.l.) и равномерно меняющиеся нагрузки (u.v.l.) по пролету и ряд сосредоточенных нагрузок.

Первое описание метода на английском языке было сделано Маколей.^[1] Фактический подход, похоже, был разработан Клебш в 1862 г.^[2] Метод Маколея был обобщен для балок Эйлера-Бернулли с осевым сжатием,^[3] к Тимошенко балки,^[4] к упругие основы,^[5] и к задачам, в которых жесткость на изгиб и сдвиг изменяется в балке скачкообразно.^[6]

Метод

Отправной точкой является соотношение из Теория пучка Эйлера-Бернулли

${\displaystyle \pm EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}=M}$

Где ${\displaystyle w}$ прогиб и ${\displaystyle M}$ - изгибающий момент.^[7] проще, чем уравнение пучка четвертого порядка, и его можно проинтегрировать дважды, чтобы найти ${\displaystyle w}$ если стоимость ${\displaystyle M}$ как функция ${\displaystyle x}$ известен. Для общих нагрузок, ${\displaystyle M}$ можно выразить в виде

${\displaystyle M=M_{1}(x)+P_{1}\langle x-a_{1}\rangle +P_{2}\langle x-a_{2}\rangle +P_{3}\langle x-a_{3}\rangle +\dots }$

где количества ${\displaystyle P_{i}\langle x-a_{i}\rangle }$ представляют изгибающие моменты от точечных нагрузок и количество ${\displaystyle \langle x-a_{i}\rangle }$ это Кронштейн Маколея определяется как

${\displaystyle \langle x-a_{i}\rangle ={\begin{cases}0&\mathrm {if} ~x<a_{i}\\x-a_{i}&\mathrm {if} ~x>a_{i}\end{cases}}}$

Обычно при интеграции ${\displaystyle P(x-a)}$ мы получили

${\displaystyle \int P(x-a)~dx=P\left[{\cfrac {x^{2}}{2}}-ax\right]+C}$

Однако при интегрировании выражений, содержащих скобки Маколея, мы имеем

${\displaystyle \int P\langle x-a\rangle ~dx=P{\cfrac {\langle x-a\rangle ^{2}}{2}}+C_{m}}$

с разницей между двумя выражениями, содержащимися в константе ${\displaystyle C_{m}}$. Использование этих правил интегрирования упрощает расчет прогиба балок Эйлера-Бернулли в ситуациях, когда имеется несколько точечных нагрузок и точечных моментов. Метод Маколея предшествует более сложным концепциям, таким как Дельта-функции Дирака и пошаговые функции но дает те же результаты для проблем с пучком.

Пример: балка с простой опорой и точечной нагрузкой

Балка с простой опорой и одной эксцентричной сосредоточенной нагрузкой.

На иллюстрации метода Маколея рассматривается балка с простой опорой и одной эксцентричной сосредоточенной нагрузкой, как показано на рисунке рядом. Первый шаг - найти ${\displaystyle M}$. Реакции на опорах A и C определяются из баланса сил и моментов как

${\displaystyle R_{A}+R_{C}=P,~~LR_{C}=Pa}$

Следовательно, ${\displaystyle R_{A}=Pb/L}$ и изгибающий момент в точке D между A и B (${\displaystyle 0<x<a}$) дан кем-то

${\displaystyle M=R_{A}x=Pbx/L}$

Используя соотношение момент-кривизна и выражение Эйлера-Бернулли для изгибающего момента, имеем

${\displaystyle EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx}{L}}}$

Интегрируя приведенное выше уравнение, получаем: ${\displaystyle 0<x<a}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&={\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}+C_{1}&&\quad \mathrm {(i)} \\EIw&={\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}+C_{1}x+C_{2}&&\quad \mathrm {(ii)} \end{aligned}}}$

В ${\displaystyle x=a_{-}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}(a_{-})&={\dfrac {Pba^{2}}{2L}}+C_{1}&&\quad \mathrm {(iii)} \\EIw(a_{-})&={\dfrac {Pba^{3}}{6L}}+C_{1}a+C_{2}&&\quad \mathrm {(iv)} \end{aligned}}}$

Для точки D области BC (${\displaystyle a<x<L}$) изгибающий момент

${\displaystyle M=R_{A}x-P(x-a)=Pbx/L-P(x-a)}$

В подходе Маколея мы используем Кронштейн Маколея форма приведенного выше выражения, чтобы представить тот факт, что точечная нагрузка была приложена в точке B, т.е.

${\displaystyle M={\frac {Pbx}{L}}-P\langle x-a\rangle }$

Следовательно, уравнение пучка Эйлера-Бернулли для этой области имеет вид

${\displaystyle EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx}{L}}-P\langle x-a\rangle }$

Интегрируя приведенное выше уравнение, получаем: ${\displaystyle a<x<L}$

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&={\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}-P{\cfrac {\langle x-a\rangle ^{2}}{2}}+D_{1}&&\quad \mathrm {(v)} \\EIw&={\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}-P{\cfrac {\langle x-a\rangle ^{3}}{6}}+D_{1}x+D_{2}&&\quad \mathrm {(vi)} \end{aligned}}}$

В ${\displaystyle x=a_{+}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}(a_{+})&={\dfrac {Pba^{2}}{2L}}+D_{1}&&\quad \mathrm {(vii)} \\EIw(a_{+})&={\dfrac {Pba^{3}}{6L}}+D_{1}a+D_{2}&&\quad \mathrm {(viii)} \end{aligned}}}$

Сравнивая уравнения (iii) и (vii) и (iv) и (viii), мы замечаем, что из-за непрерывности в точке B, ${\displaystyle C_{1}=D_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}=D_{2}}$. Приведенное выше наблюдение означает, что для двух рассматриваемых регионов, хотя уравнение для изгибающий момент и, следовательно, для кривизна различны, константы интегрирования, полученные при последовательном интегрировании уравнения кривизны для двух областей, одинаковы.

Приведенный выше аргумент верен для любого количества / типа разрывов в уравнениях кривизны, при условии, что в каждом случае уравнение сохраняет член для последующей области в форме ${\displaystyle \langle x-a\rangle ^{n},\langle x-b\rangle ^{n},\langle x-c\rangle ^{n}}$ Следует помнить, что для любого x при указании величин в скобках, как в приведенном выше случае, -ve следует пренебречь, а вычисления следует проводить с учетом только тех величин, которые дают знак + ve для членов в скобки.

Возвращаясь к проблеме, у нас есть

${\displaystyle EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx}{L}}-P\langle x-a\rangle }$

Очевидно, что следует рассматривать только первый член для ${\displaystyle x<a}$ и оба условия для ${\displaystyle x>a}$ и решение

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&=\left[{\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}+C_{1}\right]-{\cfrac {P\langle x-a\rangle ^{2}}{2}}\\EIw&=\left[{\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}+C_{1}x+C_{2}\right]-{\cfrac {P\langle x-a\rangle ^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что константы помещаются сразу после первого члена, чтобы указать, что они идут с первым членом, когда ${\displaystyle x<a}$ и с обоими условиями, когда ${\displaystyle x>a}$. Скобки Маколея служат напоминанием о том, что количество справа равно нулю при рассмотрении точек с ${\displaystyle x<a}$.

Граничные условия

В качестве ${\displaystyle w=0}$ в ${\displaystyle x=0}$, ${\displaystyle C2=0}$. Также, как ${\displaystyle w=0}$ в ${\displaystyle x=L}$,

${\displaystyle \left[{\dfrac {PbL^{2}}{6}}+C_{1}L\right]-{\cfrac {P(L-a)^{3}}{6}}=0}$

или же,

${\displaystyle C_{1}=-{\cfrac {Pb}{6L}}(L^{2}-b^{2})~.}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&=\left[{\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}-{\cfrac {Pb}{6L}}(L^{2}-b^{2})\right]-{\cfrac {P\langle x-a\rangle ^{2}}{2}}\\EIw&=\left[{\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}-{\cfrac {Pbx}{6L}}(L^{2}-b^{2})\right]-{\cfrac {P\langle x-a\rangle ^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

Максимальный прогиб

За ${\displaystyle w}$ быть максимальным, ${\displaystyle dw/dx=0}$. Предполагая, что это происходит для ${\displaystyle x<a}$ у нас есть

${\displaystyle {\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}-{\cfrac {Pb}{6L}}(L^{2}-b^{2})=0}$

или же

${\displaystyle x=\pm {\cfrac {(L^{2}-b^{2})^{1/2}}{\sqrt {3}}}}$

Четко ${\displaystyle x<0}$ не может быть решением. Следовательно, максимальный прогиб определяется выражением

${\displaystyle EIw_{\mathrm {max} }={\cfrac {1}{3}}\left[{\dfrac {Pb(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{6{\sqrt {3}}L}}\right]-{\cfrac {Pb(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{6{\sqrt {3}}L}}}$

или же,

${\displaystyle w_{\mathrm {max} }=-{\dfrac {Pb(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{9{\sqrt {3}}EIL}}~.}$

Прогиб в точке приложения нагрузки

В ${\displaystyle x=a}$, т.е. в точке B прогиб равен

${\displaystyle EIw_{B}={\dfrac {Pba^{3}}{6L}}-{\cfrac {Pba}{6L}}(L^{2}-b^{2})={\frac {Pba}{6L}}(a^{2}+b^{2}-L^{2})}$

или же

${\displaystyle w_{B}=-{\cfrac {Pa^{2}b^{2}}{3LEI}}}$

Прогиб в средней точке

Поучительно изучить соотношение ${\displaystyle w_{\mathrm {max} }/w(L/2)}$. В ${\displaystyle x=L/2}$

${\displaystyle EIw(L/2)={\dfrac {PbL^{2}}{48}}-{\cfrac {Pb}{12}}(L^{2}-b^{2})=-{\frac {Pb}{12}}\left[{\frac {3L^{2}}{4}}-b^{2}\right]}$

Следовательно,

${\displaystyle {\frac {w_{\mathrm {max} }}{w(L/2)}}={\frac {4(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{3{\sqrt {3}}L\left[{\frac {3L^{2}}{4}}-b^{2}\right]}}={\frac {4(1-{\frac {b^{2}}{L^{2}}})^{3/2}}{3{\sqrt {3}}\left[{\frac {3}{4}}-{\frac {b^{2}}{L^{2}}}\right]}}={\frac {16(1-k^{2})^{3/2}}{3{\sqrt {3}}\left(3-4k^{2}\right)}}}$

куда ${\displaystyle k=B/L}$ и для ${\displaystyle a<b;0<k<0.5}$. Даже когда нагрузка от опоры составляет 0,05L, ошибка в оценке прогиба составляет всего 2,6%. Следовательно, в большинстве случаев оценка максимального отклонения может быть произведена довольно точно с разумной погрешностью путем определения отклонения в центре.

Частный случай симметрично приложенной нагрузки

Когда ${\displaystyle a=b=L/2}$, за ${\displaystyle w}$ быть максимальным

${\displaystyle x={\cfrac {[L^{2}-(L/2)^{2}]^{1/2}}{\sqrt {3}}}={\frac {L}{2}}}$

а максимальный прогиб составляет

${\displaystyle w_{\mathrm {max} }=-{\dfrac {P(L/2)b[L^{2}-(L/2)^{2}]^{3/2}}{9{\sqrt {3}}EIL}}=-{\frac {PL^{3}}{48EI}}=w(L/2)~.}$

Рекомендации

1. В. Х. Маколей, «Заметка об отклонении лучей», Вестник математики, 48 (1919), 129.
2. Дж. Т. Вайссенбургер, «Интегрирование разрывных выражений, возникающих в теории пучков», AIAAJournal, 2 (1) (1964), 106–108.
3. У. Х. Виттрик, "Обобщение метода Маколея с приложениями в строительной механике", AIAA Journal, 3 (2) (1965), 326–330.
4. А. Явари, С. Саркани и Дж. Н. Редди, «О неоднородных пучках Эйлера – Бернулли и Тимошенко со скачкообразными разрывами: применение теории распределений», International Journal of Solids and Structures, 38 (46–7) (2001), 8389–8406 .
5. А. Явари, С. Саркани и Дж. Н. Редди, «Обобщенные решения балок со скачкообразными разрывами на упругих основаниях», Архив прикладной механики, 71 (9) (2001), 625–639.
6. Стивен, Н. Г., (2002), "Метод Маколея для балки Тимошенко", Междунар. J. Mech. Engg. Образование, 35 (4), стр. 286-292.
7. Знак в левой части уравнения зависит от используемого соглашения. В оставшейся части этой статьи мы будем предполагать, что соглашение о знаках таково, что подходит положительный знак.

Смотрите также

• Теория пучка
• Гибка
• Изгибающий момент
• Функция сингулярности
• Диаграмма сдвига и момента
• Теория пучка Тимошенко