Локально компактная квантовая группа - Locally compact quantum group

А локально компактная квантовая группа относительно новый C * -алгебраический подход к квантовые группы это обобщает Алгебра каца, компактная квантовая группа и Хопфа-алгебра подходы. Более ранние попытки унифицировать определение квантовых групп с использованием, например, мультипликативных унитаров, имели некоторый успех, но также столкнулись с несколькими техническими проблемами.

Одной из основных черт, отличающих этот новый подход от его предшественников, является аксиоматическое существование левых и правых инвариантных весов. Это дает некоммутативный аналог левого и правого Меры Хаара на локально компактной хаусдорфовой группе.

Определения

Прежде чем мы сможем даже приступить к правильному определению локально компактной квантовой группы, нам сначала нужно определить ряд предварительных понятий, а также сформулировать несколько теорем.

Определение (вес). Позволять ${\displaystyle A}$ быть C * -алгебра, и разреши ${\displaystyle A_{\geq 0}}$ обозначим множество положительные элементы из ${\displaystyle A}$. А масса на ${\displaystyle A}$ это функция ${\displaystyle \phi :A_{\geq 0}\to [0,\infty ]}$ такой, что

• ${\displaystyle \phi (a_{1}+a_{2})=\phi (a_{1})+\phi (a_{2})}$ для всех ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{\geq 0}}$, и
• ${\displaystyle \phi (r\cdot a)=r\cdot \phi (a)}$ для всех ${\displaystyle r\in [0,\infty )}$ и ${\displaystyle a\in A_{\geq 0}}$.

Некоторые обозначения весов. Позволять ${\displaystyle \phi }$ вес на C * -алгебре ${\displaystyle A}$. Мы используем следующие обозначения:

• ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}:=\{a\in A_{\geq 0}\mid \phi (a)<\infty \}}$, который называется множеством всех положительный ${\displaystyle \phi }$-интегрируемые элементы из ${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\phi }:=\{a\in A\mid \phi (a^{*}a)<\infty \}}$, который называется множеством всех ${\displaystyle \phi }$-квадратно интегрируемые элементы из ${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }:={\text{Span}}~{\mathcal {M}}_{\phi }^{+}={\mathcal {N}}_{\phi }^{*}{\mathcal {N}}_{\phi }}$, который называется множеством всех ${\displaystyle \phi }$-интегрируемый элементы ${\displaystyle A}$.

Виды весов. Позволять ${\displaystyle \phi }$ вес на C * -алгебре ${\displaystyle A}$.

• Мы говорим что ${\displaystyle \phi }$ является верный если и только если ${\displaystyle \phi (a)\neq 0}$ для каждого ненулевого ${\displaystyle a\in A_{\geq 0}}$.
• Мы говорим что ${\displaystyle \phi }$ является нижний полунепрерывный тогда и только тогда, когда набор ${\displaystyle \{a\in A_{\geq 0}\mid \phi (a)\leq \lambda \}}$ является замкнутым подмножеством ${\displaystyle A}$ для каждого ${\displaystyle \lambda \in [0,\infty ]}$.
• Мы говорим что ${\displaystyle \phi }$ является плотно определенный если и только если ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}}$ плотное подмножество ${\displaystyle A_{\geq 0}}$, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда либо ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\phi }}$ или же ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }}$ плотное подмножество ${\displaystyle A}$.
• Мы говорим что ${\displaystyle \phi }$ является правильный тогда и только тогда, когда он не равен нулю, полунепрерывен снизу и плотно определен.

Определение (однопараметрическая группа). Позволять ${\displaystyle A}$ - C * -алгебра. А однопараметрическая группа на ${\displaystyle A}$ это семья ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ * -автоморфизмов ${\displaystyle A}$ это удовлетворяет ${\displaystyle \alpha _{s}\circ \alpha _{t}=\alpha _{s+t}}$ для всех ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$. Мы говорим что ${\displaystyle \alpha }$ является нормальный если и только если для каждого ${\displaystyle a\in A}$отображение ${\displaystyle \mathbb {R} \to A}$ определяется ${\displaystyle t\mapsto {\alpha _{t}}(a)}$ непрерывно.

Определение (аналитическое расширение однопараметрической группы). Для непрерывной по норме однопараметрической группы ${\displaystyle \alpha }$ на C * -алгебре ${\displaystyle A}$, мы собираемся определить аналитическое расширение из ${\displaystyle \alpha }$. Для каждого ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$, позволять

${\displaystyle I(z):=\{y\in \mathbb {C} \mid |\Im (y)|\leq |\Im (z)|\}}$,

которая представляет собой горизонтальную полосу в комплексной плоскости. Мы называем функцию ${\displaystyle f:I(z)\to A}$ нормальный тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

• Он аналитичен внутри ${\displaystyle I(z)}$, т.е. для каждого ${\displaystyle y_{0}}$ в интерьере ${\displaystyle I(z)}$, Лимит ${\displaystyle \displaystyle \lim _{y\to y_{0}}{\frac {f(y)-f(y_{0})}{y-y_{0}}}}$ существует относительно топологии нормы на ${\displaystyle A}$.
• Он ограничен по норме на ${\displaystyle I(z)}$.
• Он непрерывен по норме на ${\displaystyle I(z)}$.

Предположим теперь, что ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} }$, и разреши

${\displaystyle D_{z}:=\{a\in A\mid {\text{There exists a norm-regular}}~f:I(z)\to A~{\text{such that}}~f(t)={\alpha _{t}}(a)~{\text{for all}}~t\in \mathbb {R} \}.}$

Определять ${\displaystyle \alpha _{z}:D_{z}\to A}$ к ${\displaystyle {\alpha _{z}}(a):=f(z)}$. Функция ${\displaystyle f}$ определяется однозначно (теорией комплексно-аналитических функций), поэтому ${\displaystyle \alpha _{z}}$ действительно четко определено. Семья ${\displaystyle (\alpha _{z})_{z\in \mathbb {C} }}$ затем называется аналитическое расширение из ${\displaystyle \alpha }$.

Теорема 1. Набор ${\displaystyle \cap _{z\in \mathbb {C} }D_{z}}$, называется набором аналитические элементы из ${\displaystyle A}$, является плотным подмножеством ${\displaystyle A}$.

Определение (вес К.М.С.). Позволять ${\displaystyle A}$ C * -алгебра и ${\displaystyle \phi :A_{\geq 0}\to [0,\infty ]}$ вес на ${\displaystyle A}$. Мы говорим что ${\displaystyle \phi }$ это К.М.С. масса («K.M.S.» означает «Кубо-Мартин-Швингер») на ${\displaystyle A}$ если и только если ${\displaystyle \phi }$ это правильный вес на ${\displaystyle A}$ и существует непрерывная по норме однопараметрическая группа ${\displaystyle (\sigma _{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ на ${\displaystyle A}$ такой, что

• ${\displaystyle \phi }$ инвариантен относительно ${\displaystyle \sigma }$, т.е. ${\displaystyle \phi \circ \sigma _{t}=\phi }$ для всех ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, и
• для каждого ${\displaystyle a\in {\text{Dom}}(\sigma _{i/2})}$, у нас есть ${\displaystyle \phi (a^{*}a)=\phi (\sigma _{i/2}(a)[\sigma _{i/2}(a)]^{*})}$.

Обозначим через ${\displaystyle M(A)}$ алгебра мультипликаторов ${\displaystyle A}$.

Теорема 2. Если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ являются C * -алгебрами и ${\displaystyle \pi :A\to M(B)}$ является невырожденным * -гомоморфизмом (т. е. ${\displaystyle \pi [A]B}$ плотное подмножество ${\displaystyle B}$), то можно однозначно продолжить ${\displaystyle \pi }$ к * -гомоморфизму ${\displaystyle {\overline {\pi }}:M(A)\to M(B)}$.

Теорема 3. Если ${\displaystyle \omega :A\to \mathbb {C} }$ является состоянием (т.е.положительным линейным функционалом нормы ${\displaystyle 1}$) на ${\displaystyle A}$, то можно однозначно продолжить ${\displaystyle \omega }$ в состояние ${\displaystyle {\overline {\omega }}:M(A)\to \mathbb {C} }$ на ${\displaystyle M(A)}$.

Определение (Локально компактная квантовая группа). A (C * -алгебраический) локально компактная квантовая группа упорядоченная пара ${\displaystyle {\mathcal {G}}=(A,\Delta )}$, куда ${\displaystyle A}$ является C * -алгеброй и ${\displaystyle \Delta :A\to M(A\otimes A)}$ это невырожденный * -гомоморфизм, называемый совместное умножение, который удовлетворяет следующим четырем условиям:

• Совместное умножение является ассоциативным, т. Е. ${\displaystyle {\overline {\Delta \otimes \iota }}\circ \Delta ={\overline {\iota \otimes \Delta }}\circ \Delta }$.
• Наборы ${\displaystyle \left\{{\overline {\omega \otimes {\text{id}}}}(\Delta (a))~{\big |}~\omega \in A^{*},~a\in A\right\}}$ и ${\displaystyle \left\{{\overline {{\text{id}}\otimes \omega }}(\Delta (a))~{\big |}~\omega \in A^{*},~a\in A\right\}}$ линейно плотные подмножества ${\displaystyle A}$.
• Есть верный К.М.С. масса ${\displaystyle \phi }$ на ${\displaystyle A}$ что левоинвариантно, т. е. ${\displaystyle \phi \!\left({\overline {\omega \otimes {\text{id}}}}(\Delta (a))\right)={\overline {\omega }}(1_{M(A)})\cdot \phi (a)}$ для всех ${\displaystyle \omega \in A^{*}}$ и ${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}}$.
• Существует К.М.С. масса ${\displaystyle \psi }$ на ${\displaystyle A}$ правоинвариантное, т. е. ${\displaystyle \psi \!\left({\overline {{\text{id}}\otimes \omega }}(\Delta (a))\right)={\overline {\omega }}(1_{M(A)})\cdot \psi (a)}$ для всех ${\displaystyle \omega \in A^{*}}$ и ${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}}$.

Из определения локально компактной квантовой группы можно показать, что правоинвариантный K.M.S. масса ${\displaystyle \psi }$ автоматически верен. Следовательно, верность ${\displaystyle \psi }$ является избыточным условием, и его не нужно постулировать.

Двойственность

Категория локально компактных квантовых групп допускает двойственную конструкцию, с помощью которой можно доказать, что би-двойственная локально компактная квантовая группа изоморфна исходной. Этот результат дает далеко идущее обобщение Понтрягинская двойственность для локально компактных хаусдорфовых абелевых групп.

Альтернативные составы

Теория имеет эквивалентную формулировку в терминах алгебры фон Неймана.

Смотрите также

• Локально компактное пространство
• Локально компактное поле
• Локально компактная группа

Рекомендации

• Йохан Кустерманс и Стефаан Ваес. "Локально компактные квантовые группы. "Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure. Том 33, № 6 (2000), стр. 837-934.
• Томас Тиммерманн. "Приглашение к квантовым группам и двойственности - от алгебр Хопфа к мультипликативным унитарным и не только". Учебники EMS по математике, Европейское математическое общество (2008).