Теория Литтлвуда – Пэли - Littlewood–Paley theory

В гармонический анализ, область математики, Теория Литтлвуда – Пэли теоретическая основа, используемая для расширения определенных результатов о L² функции для L^п функции для 1 <п <∞. Обычно он используется вместо аргументов ортогональности, которые применяются только к L^п функционирует, когда п = 2. Одна реализация включает изучение функции путем ее разложения по функциям с локализованными частотами и использования метода Литтлвуда – Пэли. грамм-функция для сравнения с ее интегралом Пуассона. Случай с одной переменной был создан Дж. Э. Литтлвуд и Р. Пейли  (1931, 1937, 1938 ) и развитый польскими математиками А. Зигмунд и Я. Марцинкевич в 1930-е годы с помощью теории сложных функций (Зигмунд 2002, главы XIV, XV). Э. М. Штейн позже распространил теорию на более высокие измерения, используя методы реальных переменных.

Диадическое разложение функции

Теория Литтлвуда – Пэли использует разложение функции ж в сумму функций ж_ρ с локализованными частотами. Есть несколько способов построить такое разложение; типичный метод выглядит следующим образом.

Если f (x) это функция на р, и ρ - измеримое множество (в частотном пространстве) с характеристическая функция ${\displaystyle \chi _{\rho }(\xi )}$, тогда ж_ρ определяется через его преобразование Фурье

${\displaystyle {\hat {f}}_{\rho }:=\chi _{\rho }{\hat {f}}}$.

Неофициально ж_ρ это часть ж чьи частоты лежат вρ.

Если Δ - это набор измеримых множеств, которые (с точностью до меры 0) не пересекаются и объединяются на действительной прямой, то функция с хорошим поведением ж можно записать в виде суммы функций ж_ρ за ρ ∈ Δ.

Когда Δ состоит из множеств вида

${\displaystyle \rho =[-2^{k+1},-2^{k}]\cup [2^{k},2^{k+1}].}$

за k целое число, это дает так называемое "диадическое разложение" ж : Σ_ρ ж_ρ.

Есть много вариантов этой конструкции; например, характеристическая функция множества, используемая в определении ж_ρ можно заменить более плавной функцией.

Ключевой оценкой теории Литтлвуда – Пэли является теорема Литтлвуда – Пэли, которая ограничивает размер функций ж_ρ с точки зрения размера ж. Существует множество версий этой теоремы, соответствующих различным способам разложения ж. Типичная оценка заключается в ограничении L^п норма (Σ_ρ |ж_ρ|²)^1/2 кратно L^п нормаж.

В более высоких измерениях эту конструкцию можно обобщить, заменив интервалы прямоугольниками со сторонами, параллельными осям координат. К сожалению, это довольно специальные наборы, которые ограничивают приложения более высокими размерами.

Литтлвуд – Пейли грамм функция

В грамм функция является нелинейным оператором на L^п(р^п), который можно использовать для управления L^п норма функции ж с точки зрения его Интеграл Пуассона.Интеграл Пуассона. ты(Икс,у) из ж определяется для у > 0 по

${\displaystyle u(x,y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}P_{y}(t)f(x-t)\,dt}$

где Ядро Пуассона п дан кем-то

${\displaystyle P_{y}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi itx-2\pi |t|y}\,dt={\frac {\Gamma ((n+1)/2)}{\pi ^{(n+1)/2}}}{\frac {y}{(|x|^{2}+y^{2})^{(n+1)/2}}}.}$

Литтлвуд – Пейли грамм функция грамм(ж) определяется

${\displaystyle g(f)(x)=\left(\int _{0}^{\infty }|\nabla u(x,y)|^{2}y\,dy\right)^{1/2}}$

Основное свойство грамм в том, что он примерно сохраняет нормы. Точнее, при 1 <п <∞, отношение L^п нормы ж и грамм(ж) ограничена сверху и снизу фиксированными положительными константами, зависящими от п и п но не наж.

Приложения

Одним из первых применений теории Литтлвуда – Пэли было доказательство того, что если S_п являются частичными суммами ряда Фурье периодического L^п функция (п > 1) и п_j последовательность, удовлетворяющая п_j+1/п_j > q для некоторых фиксированных q > 1, то последовательность S_пj сходится почти везде. Позже это было заменено Теорема Карлесона – Ханта показывая это S_п сам сходится почти везде.

Теорию Литтлвуда – Пэли также можно использовать для доказательства Теорема Марцинкевича о множителях.

Рекомендации

• Coifman, R. R .; Вайс, Гвидо (1978), "Рецензия на книгу: Литтлвуд-Пэли и теория множителей", Бюллетень Американского математического общества, 84 (2): 242–250, Дои:10.1090 / S0002-9904-1978-14464-4, ISSN  0002-9904, МИСТЕР  1567040
• Эдвардс, Р. Э .; Годри, Г. И. (1977), Литтлвуда-Пэли и теория множителей, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-07726-8, МИСТЕР  0618663
• Фрейзер, Майкл; Яверт, Бьёрн; Вайс, Гвидо (1991), Теория Литтлвуда-Пэли и изучение функциональных пространств, Серия региональных конференций CBMS по математике, 79, Опубликовано для Совета по математическим наукам, Вашингтон, округ Колумбия, Дои:10.1090 / cbms / 079, ISBN  978-0-8218-0731-6, МИСТЕР  1107300
• Littlewood, J. E .; Пэли, Р. Э. А. С. (1931), "Теоремы о рядах Фурье и степенных рядах", J. London Math. Soc., 6 (3): 230–233, Дои:10.1112 / jlms / s1-6.3.230
• Littlewood, J. E .; Пэли, Р. Э. А. С. (1937), "Теоремы о рядах Фурье и степенных рядах (II)", Proc. Лондонская математика. Soc., 42 (1): 52–89, Дои:10.1112 / плмс / с2-42.1.52
• Littlewood, J. E .; Пэли, Р. Е. А. С. (1938), "Теоремы о рядах Фурье и степенных рядах (III)", Proc. Лондонская математика. Soc., 43 (2): 105–126, Дои:10.1112 / плмс / с2-43.2.105
• Штейн, Элиас М. (1970), Темы гармонического анализа, связанные с теорией Литтлвуда-Пэли., Анналы математических исследований, № 63, Princeton University Press, МИСТЕР  0252961
• Зигмунд, А. (2002) [1935], Тригонометрический ряд. Vol. I, II, Кембриджская математическая библиотека (3-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-89053-3, МИСТЕР  1963498