Лемма Льва – Магенеса. - Lions–Magenes lemma

В математика, то Лемма Льва – Магенеса. (или же теорема) является результатом теории Соболевские пространства из Банахово пространство -значные функции, который обеспечивает критерий для удаления производной функции по времени от ее действия (как функционала) на саму функцию.

Утверждение леммы

Позволять Икс₀, Икс и Икс₁ быть тремя Гильбертовы пространства с Икс₀ ⊆ Икс ⊆ Икс₁. Предположим, что Икс₀ является постоянно внедренный в Икс и это Икс является постоянно внедренный в Икс₁, и это Икс₁ является двойственным пространством Икс₀. Обозначим норму на Икс автор || · ||_Икс, и обозначим действие Икс₁ на Икс₀ к ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$. Предположим для некоторых ${\displaystyle T>0}$ который ${\displaystyle u\in L^{2}([0,T];X_{0})}$ такова, что его производная по времени ${\displaystyle {\dot {u}}\in L^{2}([0,T];X_{1})}$. потом ${\displaystyle u}$ почти всюду равна функции, непрерывной из ${\displaystyle [0,T]}$ в ${\displaystyle X}$, причем в смысле скалярной распределения на ${\displaystyle (0,T)}$:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\|u\|_{X}^{2}=\langle {\dot {u}},u\rangle }$

Приведенное выше неравенство имеет смысл, поскольку функции

${\displaystyle t\rightarrow \|u\|_{X}^{2},\quad t\rightarrow \langle {\dot {u}}(t),u(t)\rangle }$

оба интегрируемы на ${\displaystyle [0,T]}$.

Смотрите также

• Лемма Обена – Лайонса.

Примечания

Важно отметить, что эта лемма не распространяется на случай, когда ${\displaystyle u\in L^{p}([0,T];X_{0})}$ такова, что его производная по времени ${\displaystyle {\dot {u}}\in L^{q}([0,T];X_{1})}$ за ${\displaystyle p\neq 2}$, ${\displaystyle q\neq 2}$. Например, энергетическое равенство для трехмерного Уравнения Навье – Стокса не известно, что справедливо для слабых решений, так как слабое решение ${\displaystyle u}$ известно только удовлетворить ${\displaystyle u\in L^{2}([0,T];H^{1})}$ и ${\displaystyle {\dot {u}}\in L^{4/3}([0,T];H^{-1})}$ (куда ${\displaystyle H^{1}}$ это Соболевское пространство, и ${\displaystyle H^{-1}}$ это его двойное пространство, что недостаточно для применения леммы Лайонса – Магнеса (потребуется ${\displaystyle {\dot {u}}\in L^{2}([0,T];H^{-1})}$, но это не известно для слабых решений). ^[1]

Рекомендации

1. Константин, Петр; Фойас, Киприан И. (1988), Уравнения Навье – Стокса., Чикагские лекции по математике, Чикаго, Иллинойс: University of Chicago Press

• Темам, Роджер (2001). Уравнения Навье-Стокса: теория и численный анализ. Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing. С. 176–177. (Лемма 1.2)

• Львов, Жак Л .; Магенес, Энрико (1972). Неоднородные краевые задачи и приложения. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag.