Теорема плотности Лебега - Lebesgues density theorem

В математика, Теорема плотности Лебега заявляет, что для любого Измеримое множество по Лебегу ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$, «плотность» А равно 0 или 1 при почти каждый указать в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Кроме того, «плотность» А равен 1 почти в каждой точке А. Интуитивно это означает, что «край» А, множество точек в А чье «соседство» частично находится в А и частично за пределами А, является незначительный.

Пусть μ - мера Лебега на Евклидово пространство р^п и А измеримое по Лебегу подмножество р^п. Определить приблизительная плотность из А в ε-окрестности точки Икс в р^п в качестве

${\displaystyle d_{\varepsilon }(x)={\frac {\mu (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\mu (B_{\varepsilon }(x))}}}$

куда B_ε обозначает закрытый мяч радиуса ε с центром в Икс.

Теорема плотности Лебега утверждает, что почти по каждому пункту Икс из А то плотность

${\displaystyle d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)}$

существует и равен 1.

Другими словами, для каждого измеримого множества А, плотность А 0 или 1 почти всюду в р^п.^[1] Однако любопытно, что если μ (А)> 0 и μ (р^п \ А) > 0, то всегда есть точки р^п где плотность не равна ни 0, ни 1.

Например, для квадрата на плоскости плотность в каждой точке внутри квадрата равна 1, по краям - 1/2, а по углам - 1/4. Множество точек на плоскости, в которых плотность не равна ни 0, ни 1, непусто (квадратная граница), но им можно пренебречь.

Теорема Лебега о плотности является частным случаем Теорема Лебега дифференцирования.

Таким образом, эта теорема верна и для любой конечной борелевской меры на р^п вместо меры Лебега см. Обсуждение.

Смотрите также

• Теорема Лебега дифференцирования

Рекомендации

1. Маттила, Пертти (1999). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах: фракталы и выпрямляемость. ISBN  978-0-521-65595-8.

• Халлард Т. Крофт. Три решётчатые задачи Штейнхауза. Кварта. J. Math. Оксфорд (2), 33:71-83, 1982.

Эта статья включает материал из теоремы плотности Лебега о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.