Теорема Ле Камса - Le Cams theorem

В теория вероятности, Теорема Ле Кама, названный в честь Люсьен Ле Кам (1924 - 2000), утверждает следующее.^[1][2][3]

Предполагать:

• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$ находятся независимый случайные переменные, каждый с Распределение Бернулли (т.е. равно 0 или 1), не обязательно одинаково распределены.
• ${\displaystyle P(X_{i}=1)=p_{i},{\text{ for }}i=1,2,3,\ldots .}$
• ${\displaystyle \lambda _{n}=p_{1}+\cdots +p_{n}.}$
• ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.}$ (т.е. ${\displaystyle S_{n}}$ следует за Биномиальное распределение Пуассона )

потом

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!}\right|<2\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}\right).}$

Другими словами, сумма примерно равна распределение Пуассона и указанное выше неравенство ограничивает ошибку аппроксимации через общее расстояние вариации.

Установив п_я = λ_п/п, мы видим, что это обобщает обычные Предельная теорема Пуассона.

Когда ${\displaystyle \lambda _{n}}$ велика, возможна лучшая оценка: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!}\right|<2\left(1\wedge {\frac {1}{\lambda }}_{n}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}\right).}$ ^[4]

Также возможно ослабить требование независимости.^[4]

Рекомендации

1. Ле Кам, Л. (1960). "Аппроксимационная теорема для биномиального распределения Пуассона". Тихоокеанский математический журнал. 10 (4): 1181–1197. Дои:10.2140 / pjm.1960.10.1181. МИСТЕР  0142174. Zbl  0118.33601. Получено 2009-05-13.
2. Ле Кам, Л. (1963). «О распределении сумм независимых случайных величин». В Ежи Нейман; Люсьен ле Кам (ред.). Бернулли, Байес, Лаплас: Материалы международного исследовательского семинара. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 179–202. МИСТЕР  0199871.
3. Стил, Дж. М. (1994). "Неравенство Ле Кама и приближения Пуассона". Американский математический ежемесячник. 101 (1): 48–54. Дои:10.2307/2325124. JSTOR  2325124.
4. ден Холландер, Франк. Теория вероятностей: метод связи.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Неравенство Ле Кама". MathWorld.