Представление слоеного торта - Layer cake representation

В математика, то представление слоеного пирога не-отрицательный, настоящий -ценный измеримая функция ж определено на измерить пространство ${displaystyle (Omega, {mathcal {A}}, mu)}$ формула

{displaystyle f (x) = int _ {0} ^ {infty} 1_ {L (f, t)} (x), mathrm {d} t,}

для всех ${displaystyle xin Omega}$ , где ${displaystyle 1_ {E}}$ обозначает индикаторная функция подмножества ${displaystyle Esubseteq Omega}$ и ${displaystyle L (f, t)}$ обозначает супер-набор уровней

{displaystyle L (f, t) = {yin Omega mid f (y) geq t}.}

Представление слоеного пирога легко следует из наблюдения, что

{displaystyle 1_ {L (f, t)} (x) = 1 _ {[0, f (x)]} (t)}

а затем по формуле

{displaystyle f (x) = int _ {0} ^ {f (x)}, mathrm {d} t.}

В слоеный пирог представление берет свое имя от представления значения ${displaystyle f (x)}$ как сумма вкладов «слоев» ${displaystyle L (f, t)}$ : "слои" / значения т ниже ${displaystyle f (x)}$ вносят вклад в интеграл, а значения т над ${displaystyle f (x)}$ не.

Важным следствием представления слоеного пирога является идентичность

${displaystyle int _ {Omega} f (x), mathrm {d} mu (x) = int _ {0} ^ {infty} mu ({xin Omega mid f (x)> t}), mathrm {d} t ,}$

что следует из него применением Теорема Фубини-Тонелли.

Важным приложением является то, что ${displaystyle L ^ {p}}$ за ${displaystyle 1leq p <+ infty}$ можно записать следующим образом

${displaystyle int _ {Omega} | f (x) | ^ {p}, mathrm {d} mu (x) = pint _ {0} ^ {infty} s ^ {p-1} mu ({xin Omega mid, | f (x) |> s}) mathrm {d} s,}$

что непосредственно следует из замены переменных ${displaystyle t = s ^ {p}}$ в представлении слоеного пирога ${displaystyle | f (x) | ^ {p}}$ .

Смотрите также

Симметричная убывающая перестановка

Представление слоеного торта - Layer cake representation

Смотрите также

Рекомендации