Решетка (музыка) - Lattice (music)

На неоримановский Tonnetz, поля соединяются линиями, если они разделены второстепенная треть (/), большая треть (), или же идеальный пятый (-).
Решетка в Евклидова плоскость.

В музыкальный тюнинг, а решетка "- это способ моделирования отношений настройки просто интонация система. Это множество точек в периодическом многомерном образце. Каждая точка на решетка соответствует отношению (т. е. подача, или интервал относительно некоторой другой точки решетки). Решетка может быть двух-, трех- или п-мерный, причем каждое измерение соответствует разному простое число частичный [класс поля ]."[1] При перечислении в электронная таблица решетку можно назвать таблица настройки.

Точки в решетке представляют классы высоты тона (или высоты звука, если представлены октавы), а соединители в решетке представляют интервалы между ними. Соединительные линии в решетке отображают интервалы как векторы, так что линия одинаковой длины и угла всегда имеет одинаковую интервальную связь между точками, которые она соединяет, независимо от того, где она встречается в решетке. Многократное добавление одного и того же вектора (многократное сложение одного и того же интервала) перемещает вас дальше в том же направлении. Решетки в одной интонации (ограниченные интервалами, включающими простые числа, их степени и их произведения) теоретически бесконечны (поскольку никакая степень любого простого числа не равна любой степени другого простого числа). Однако решетки иногда также используются для обозначения ограниченных подмножеств, которые особенно интересны (например, Eikosany, проиллюстрированная ниже, или различные способы извлечения определенных масштабных форм из более крупной решетки).

Примеры музыкальных решеток включают Тоннец из Эйлер (1739) и Хьюго Риманн и системы настройки Бен Джонстон. Музыкальные интервалы только по интонации родственны таковым в равная настройка к Адриан Фоккер с Блоки периодичности Фоккера. Многие многомерные настройки верхнего предела были отображены Эрв Уилсон. В предел - наибольшее простое число, используемое в отношениях, определяющих интервалы, используемые при настройке.

Таким образом Пифагорейский тюнинг, который использует только идеальную квинту (3/2) и октаву (2/1) и их кратные (полномочия 2 и 3), представляется через двумерную решетку (или, если октавная эквивалентность, одномерное измерение), тогда как стандартная (5-предельная) просто интонация, которая добавляет использование только мажорной трети (5/4), может быть представлена ​​через трехмерную решетку через «двенадцатитонную« хроматическую »шкалу может быть представлен как двумерная (3,5) плоскость проекции в трехмерном (2,3,5) пространстве, необходимом для отображения масштаба.[а] (Эквиваленты октавы появятся на оси, перпендикулярной двум другим, но такое расположение графически не обязательно.) ".[1] Другими словами, круг пятых в одном измерении и серии главных третей на этих пятых во втором (горизонтальном и вертикальном), с возможностью воображения глубины для моделирования октав:

 5-предел A ---- E ---- B ---- F # + 5/3 --5/4 -15/8 -45/32 | | | | | | | | F ---- C ---- G ---- D = 4/3 --1/1 --3/2 --9/8 | | | | | | | | (Db -) - Ab -—- Eb —-- Bb 16/15 -8/5 --6/5 --9/5
Шаблон Уилсона для отображения систем с более высокими лимитами
Решетка, показывающая структуру Эйкосани Эрва Вильсона. Этот шаблон можно использовать с любыми 6 соотношениями

Эрв Уилсон добилась значительного прогресса в разработке решеток, которые могут представлять более высокие предельные гармоники, то есть более двух измерений, отображая их в двух измерениях. Вот шаблон, который он использовал для создания того, что он назвал решеткой Эйлера, после чего он черпал свое вдохновение. Каждая простая гармоника (каждый вектор, представляющий отношение 1 / n или n / 1, где n - простое число) имеет уникальный интервал, позволяющий избежать конфликтов даже при генерации решеток многомерной гармонической структуры. Уилсон обычно использовал миллиметровую бумагу размером 10 квадратов на дюйм. Таким образом, у него было место для обозначения обоих отношений, а часто и степени шкалы, что объясняет, почему он не использовал шаблон, в котором все числа делятся на 2. Степень шкалы всегда следовала за точкой или точкой, чтобы отделить ее от отношений. .

Примеры:

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Размеры, необходимые для п-предельные настройки равны функция подсчета простых чисел минус один.

Источники

  1. ^ а б Гилмор, Боб (2006). «Введение», стр. Xviii, "Максимальная ясность" и другие сочинения о музыке, под редакцией Боба Гилмора. Урбана: Университет Иллинойса Press. ISBN  0-252-03098-2.

дальнейшее чтение

  • Джонстон, Бен (2006). "Рациональная структура в музыке", "Максимальная ясность" и другие сочинения о музыке, под редакцией Боба Гилмора. Урбана: Университет Иллинойса Press. ISBN  0-252-03098-2.

внешняя ссылка