Теорема Ландвебера о точном функторе - Landweber exact functor theorem

В математике Теорема Ландвебера о точном функторе, названный в честь Питер Ландвебер, является теоремой в алгебраическая топология. Известно, что комплексная ориентация из теория гомологии приводит к формальный групповой закон. Теорема Ландвебера о точном функторе (или для краткости LEFT) может рассматриваться как метод обращения этого процесса: она строит теорию гомологий из формального группового закона.

Заявление

Кольцо коэффициентов сложный кобордизм является ${\displaystyle MU_{*}(*)=MU_{*}\cong \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\dots ]}$, где степень ${\displaystyle x_{i}}$ является ${\displaystyle 2i}$. Это изоморфно градуированной Lazard кольцо ${\displaystyle {\mathcal {}}L_{*}}$. Это означает, что, задав формальный групповой закон F (степени ${\displaystyle -2}$) над градуированным кольцом ${\displaystyle R_{*}}$ эквивалентно заданию градуированного морфизма колец ${\displaystyle L_{*}\to R_{*}}$. Умножение на целое число ${\displaystyle n>0}$ индуктивно определяется как степенной ряд формулой

${\displaystyle [n+1]^{F}x=F(x,[n]^{F}x)}$ и ${\displaystyle [1]^{F}x=x.}$

Пусть теперь F - формальный групповой закон над кольцом ${\displaystyle {\mathcal {}}R_{*}}$. Определить для топологическое пространство Икс

${\displaystyle E_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}R_{*}}$

Здесь ${\displaystyle R_{*}}$ получает свое ${\displaystyle MU_{*}}$-алгебра через F. Возникает вопрос: является ли E теорией гомологии? Очевидно, что это гомотопически инвариантный функтор, выполняющий вырезание. Проблема в том, что тензор, вообще говоря, не сохраняет точных последовательностей. Можно было требовать, чтобы ${\displaystyle R_{*}}$ быть плоский над ${\displaystyle MU_{*}}$, но на практике это было бы слишком сильно. Питер Ландвебер нашел еще один критерий:

Теорема (Теорема Ландвебера о точном функторе)

Для каждого простого p есть элементы ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots \in MU_{*}}$ такое, что мы имеем следующее: Предположим, что ${\displaystyle M_{*}}$ оценивается ${\displaystyle MU_{*}}$-модуль и последовательность ${\displaystyle (p,v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}$ является обычный за ${\displaystyle M}$, для каждого п и п. потом

${\displaystyle E_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}M_{*}}$

является теорией гомологии на CW-комплексы.

В частности, любой формальный групповой закон F над кольцом ${\displaystyle R}$ дает модуль над ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}}$ поскольку мы получаем через F кольцевой морфизм ${\displaystyle MU_{*}\to R}$.

Замечания

• Также есть версия для Когомологии Брауна – Петерсона BP. В спектр BP является прямым слагаемым ${\displaystyle MU_{(p)}}$ с коэффициентами ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}[v_{1},v_{2},\dots ]}$. Утверждение LEFT остается верным, если фиксируется простое число p и заменяется BP на MU.
• Классическое доказательство LEFT использует теорему об инвариантном идеале Ландвебера – Моравы: единственные простые идеалы ${\displaystyle BP_{*}}$ которые инвариантны относительно действия ${\displaystyle BP_{*}BP}$ являются ${\displaystyle I_{n}=(p,v_{1},\dots ,v_{n})}$. Это позволяет проверять плоскостность только по ${\displaystyle BP_{*}/I_{n}}$ (см. Landweber, 1976).
• ЛЕВУЮ можно усилить следующим образом: пусть ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{*}}$ - (гомотопическая) категория точной Ландвебера ${\displaystyle MU_{*}}$-модули и ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ категория спектров MU-модулей таких, что ${\displaystyle \pi _{*}M}$ точен Ландвебер. Тогда функтор ${\displaystyle \pi _{*}\colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}_{*}}$ эквивалентность категорий. Обратный функтор (заданный LEFT) принимает ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}}$-алгебры в (гомотопические) спектры MU-алгебры (см. Hovey, Strickland, 1999, Thm 2.7).

Примеры

Самый типичный и первый известный (нетривиальный) пример: комплексная K-теория К. Комплексная K-теория - это комплексно ориентированный и имеет формальный групповой закон ${\displaystyle x+y+xy}$. Соответствующий морфизм ${\displaystyle MU_{*}\to K_{*}}$ также известен как Род Тоддов. Тогда мы имеем изоморфизм

${\displaystyle K_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}K_{*},}$

называется Изоморфизм Коннера – Флойда.

Хотя комплексная K-теория раньше строилась геометрическими средствами, многие теории гомологии были сначала построены с помощью теоремы Ландвебера о точных функторах. Это включает в себя эллиптические гомологии, то Теории Джонсона – Уилсона ${\displaystyle E(n)}$ и Спектры Любина – Тейта. ${\displaystyle E_{n}}$.

В то время как гомологии с рациональными коэффициентами ${\displaystyle H\mathbb {Q} }$ точен по Ландвеберу, гомологии с целыми коэффициентами ${\displaystyle H\mathbb {Z} }$ не является точным Ландвебером. Более того, Моравская К-теория K (n) не является точным по Ландвеберу.

Современная переформулировка

Модуль M над ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}}$ это то же самое, что и квазикогерентный пучок ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ над ${\displaystyle {\text{Spec }}L}$, где L - кольцо Лазара. Если ${\displaystyle M={\mathcal {}}MU_{*}(X)}$, то M имеет дополнительные данные ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}MU}$ сотрудничество. Кооперация на уровне кольца соответствует этому ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ является эквивариантным пучком относительно действия аффинной групповой схемы G. Это теорема Quillen который ${\displaystyle G\cong \mathbb {Z} [b_{1},b_{2},\dots ]}$ и каждому кольцу R ставит в соответствие группу степенных рядов

${\displaystyle g(t)=t+b_{1}t^{2}+b_{2}t^{3}+\cdots \in R[[t]]}$.

Он действует в соответствии с набором формальных групповых законов. ${\displaystyle {\text{Spec }}L(R)}$ через

${\displaystyle F(x,y)\mapsto gF(g^{-1}x,g^{-1}y)}$.

Это всего лишь изменения координат формальных групповых законов. Следовательно, можно выделить куча частное ${\displaystyle {\text{Spec }}L//G}$ с стопка (одномерная) формальные группы ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{fg}}$ и ${\displaystyle M=MU_{*}(X)}$ определяет квазикогерентный пучок над этим стеком. Теперь легко увидеть, что достаточно, чтобы M определял квазикогерентный пучок ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ который плоский над ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{fg}}$ для того, чтобы ${\displaystyle MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}M}$ является теорией гомологии. Тогда теорему о точности Ландвебера можно интерпретировать как критерий плоскостности ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{fg}}$ (см. Lurie 2010).

Усовершенствования ${\displaystyle E_{\infty }}$-кольцевые спектры

В то время как LEFT, как известно, производит (гомотопические) кольцевые спектры из ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}}$, гораздо более деликатный вопрос - понять, когда эти спектры на самом деле ${\displaystyle E_{\infty }}$-кольцевые спектры. По состоянию на 2010 г. наибольший прогресс был достигнут Джейкоб Лурье. Если X - алгебраический стек и ${\displaystyle X\to {\mathcal {M}}_{fg}}$ плоская карта стеков, обсуждение выше показывает, что мы получаем предпучок (гомотопических) кольцевых спектров на X. Если это отображение множится на ${\displaystyle M_{p}(n)}$ (стек одномерных p-делимые группы высоты n) и карту ${\displaystyle X\to M_{p}(n)}$ является etale, то этот предпучок можно преобразовать в пучок ${\displaystyle E_{\infty }}$-кольцевые спектры (см. Goerss). Эта теорема важна для построения топологические модульные формы.

Рекомендации

• Гёрсс, Пол. «Реализация семейств теорий точных гомологий Ландвебера» (PDF).
• Хови, Марк; Стрикленд, Нил П. (1999), "Моравские теории и локализация", Мемуары Американского математического общества, 139 (666), Дои:10.1090 / memo / 0666, МИСТЕР  1601906, заархивировано из оригинал на 2004-12-07
• Ландвебер, Питер С. (1976). «Гомологические свойства комодулей над ${\displaystyle MU_{*}(MU)}$ и ${\displaystyle BP_{*}(BP)}$". Американский журнал математики. 98 (3): 591–610. Дои:10.2307/2373808. JSTOR  2373808..
• Лурье, Джейкоб (2010). "Теория хроматической гомотопии. Конспект лекций".