Преобразование Ланденса - Landens transformation

Преобразование Ландена отображение параметров эллиптический интеграл, полезно для эффективного численного вычисления эллиптических функций. Первоначально это было связано с Джон Ланден и независимо заново открыты Карл Фридрих Гаусс.^[1]

Заявление

В неполный эллиптический интеграл первого рода F является

${\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}},}$

куда ${\displaystyle \alpha }$ - модульный угол. Преобразование Ландена утверждает, что если ${\displaystyle \alpha _{0}}$, ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \varphi _{0}}$, ${\displaystyle \varphi _{1}}$ такие, что ${\displaystyle (1+\sin \alpha _{1})(1+\cos \alpha _{0})=2}$ и ${\displaystyle \tan(\varphi _{1}-\varphi _{0})=\cos \alpha _{0}\tan \varphi _{0}}$, тогда^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\varphi _{0}\setminus \alpha _{0})&=(1+\cos \alpha _{0})^{-1}F(\varphi _{1}\setminus \alpha _{1})\\&={\tfrac {1}{2}}(1+\sin \alpha _{1})F(\varphi _{1}\setminus \alpha _{1}).\end{aligned}}}$

Преобразование Ландена можно аналогичным образом выразить через эллиптический модуль ${\displaystyle k=\sin \alpha }$ и его дополнение ${\displaystyle k'=\cos \alpha }$.

Полный эллиптический интеграл

В формулировке Гаусса значение интеграла

${\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta }$

не меняется, если ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ заменяются их арифметика и геометрические средства соответственно, то есть

${\displaystyle a_{1}={\frac {a+b}{2}},\qquad b_{1}={\sqrt {ab}},}$

${\displaystyle I_{1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a_{1}^{2}\cos ^{2}(\theta )+b_{1}^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta .}$

Следовательно,

${\displaystyle I={\frac {1}{a}}K({\frac {\sqrt {(a^{2}-b^{2})}}{a}}),}$

${\displaystyle I_{1}={\frac {2}{a+b}}K({\frac {a-b}{a+b}}).}$

Из преобразования Ландена мы заключаем

${\displaystyle K({\frac {\sqrt {(a^{2}-b^{2})}}{a}})={\frac {2a}{a+b}}K({\frac {a-b}{a+b}})}$

и ${\displaystyle I_{1}=I}$.

Доказательство

Преобразование может быть осуществлено интеграция путем замены. Удобно сначала записать интеграл в алгебраический форма путем замены ${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {x}{b}}\right)}$, ${\displaystyle d\theta =\left({\frac {1}{b}}\cos ^{2}(\theta )\right)dx}$ давая

${\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}}\,dx}$

Дальнейшая замена ${\displaystyle x=t+{\sqrt {t^{2}+ab}}}$ дает желаемый результат

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}}\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2{\sqrt {\left(t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\right)(t^{2}+ab)}}}}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\left(t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\right)\left(t^{2}+\left({\sqrt {ab}}\right)^{2}\right)}}}\,dt\end{aligned}}}$

Этому последнему шагу способствует запись радикала как

${\displaystyle {\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}=2x{\sqrt {t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}}$

и бесконечно малый как

${\displaystyle dx={\frac {x}{\sqrt {t^{2}+ab}}}\,dt}$

так что фактор ${\displaystyle x}$ признается и отменяется между двумя факторами.

Среднее арифметико-геометрическое и первый интеграл Лежандра

Если преобразование повторяется несколько раз, то параметры ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ очень быстро сходятся к общему значению, даже если изначально они имеют разные порядки величины. Предельное значение называется среднее арифметико-геометрическое из ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle \operatorname {AGM} (a,b)}$. В пределе подынтегральная функция становится константой, так что интегрирование тривиально.

${\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\operatorname {AGM} (a,b)}}\,d\theta ={\frac {\pi }{2\,\operatorname {AGM} (a,b)}}}$

Интеграл также может быть распознан как кратное Полный эллиптический интеграл Лежандра первого рода. Положив ${\displaystyle b^{2}=a^{2}(1-k^{2})}$

${\displaystyle I={\frac {1}{a}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta ={\frac {1}{a}}F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)={\frac {1}{a}}K(k)}$

Следовательно, для любого ${\displaystyle a}$, среднее арифметико-геометрическое и полный эллиптический интеграл первого рода связаны соотношением

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi a}{2\,\operatorname {AGM} (a,a{\sqrt {1-k^{2}}})}}}$

Выполняя обратное преобразование (итерацию обратного арифметико-геометрического среднего), то есть

${\displaystyle a_{-1}=a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\,}$

${\displaystyle b_{-1}=a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\,}$

${\displaystyle \operatorname {AGM} (a,b)=\operatorname {AGM} (a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}})\,}$

отношения могут быть записаны как

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi a}{2\,\operatorname {AGM} (a(1+k),a(1-k))}}\,}$

которое может быть решено для AGM пары произвольных аргументов;

${\displaystyle \operatorname {AGM} (u,v)={\frac {\pi (u+v)}{4K\left({\frac {u-v}{v+u}}\right)}}.}$

Принятое здесь определение ${\displaystyle \scriptstyle {K(k)}}$ отличается от используемого в среднее арифметико-геометрическое статья, такая что ${\displaystyle \scriptstyle {K(k)}}$ вот ${\displaystyle \scriptstyle {K(m^{2})}}$ в этой статье.

Рекомендации

1. Gauss, C.F .; Нахласс (1876 г.). "Arithmetisch geometrisches Mittel, Werke, Bd. 3". Königlichen Gesell. Wiss., Геттинген: 361–403.
2. Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972); первое изд.) Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.

• Людовик V. Кинг О прямом численном вычислении эллиптических функций и интегралов (Издательство Кембриджского университета, 1924 г.)