Преобразование Ланденса - Landens transformation

Преобразование Ландена отображение параметров эллиптический интеграл, полезно для эффективного численного вычисления эллиптических функций. Первоначально это было связано с Джон Ланден и независимо заново открыты Карл Фридрих Гаусс.[1]

Заявление

В неполный эллиптический интеграл первого рода F является

куда - модульный угол. Преобразование Ландена утверждает, что если , , , такие, что и , тогда[2]

Преобразование Ландена можно аналогичным образом выразить через эллиптический модуль и его дополнение .

Полный эллиптический интеграл

В формулировке Гаусса значение интеграла

не меняется, если и заменяются их арифметика и геометрические средства соответственно, то есть

Следовательно,

Из преобразования Ландена мы заключаем

и .

Доказательство

Преобразование может быть осуществлено интеграция путем замены. Удобно сначала записать интеграл в алгебраический форма путем замены , давая

Дальнейшая замена дает желаемый результат

Этому последнему шагу способствует запись радикала как

и бесконечно малый как

так что фактор признается и отменяется между двумя факторами.

Среднее арифметико-геометрическое и первый интеграл Лежандра

Если преобразование повторяется несколько раз, то параметры и очень быстро сходятся к общему значению, даже если изначально они имеют разные порядки величины. Предельное значение называется среднее арифметико-геометрическое из и , . В пределе подынтегральная функция становится константой, так что интегрирование тривиально.

Интеграл также может быть распознан как кратное Полный эллиптический интеграл Лежандра первого рода. Положив

Следовательно, для любого , среднее арифметико-геометрическое и полный эллиптический интеграл первого рода связаны соотношением

Выполняя обратное преобразование (итерацию обратного арифметико-геометрического среднего), то есть

отношения могут быть записаны как

которое может быть решено для AGM пары произвольных аргументов;

Принятое здесь определение отличается от используемого в среднее арифметико-геометрическое статья, такая что вот в этой статье.

Рекомендации

  1. ^ Gauss, C.F .; Нахласс (1876 г.). "Arithmetisch geometrisches Mittel, Werke, Bd. 3". Königlichen Gesell. Wiss., Геттинген: 361–403.
  2. ^ Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972); первое изд.) Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.