Функция Ландауса - Landaus function

В математика, Функция Ландау грамм(п), названный в честь Эдмунд Ландау, определяется для каждого натуральное число п быть самым большим порядок элемента симметричная группа S_п. Эквивалентно грамм(п) самый большой наименьший общий множитель (lcm) любого раздел из п, или максимальное количество раз перестановка из п элементы могут быть рекурсивно применены к самому себе, прежде чем он вернется к своей начальной последовательности.

Например, 5 = 2 + 3 и lcm (2,3) = 6. Никакое другое разделение 5 не дает большего lcm, поэтому грамм(5) = 6. Элемент порядка 6 в группе S₅ может быть записано в обозначении цикла как (1 2) (3 4 5). Обратите внимание, что тот же аргумент применим к числу 6, то есть грамм(6) = 6. Существуют произвольно длинные последовательности последовательных чисел. п, п + 1, …, п + м на котором функция грамм постоянно.^[1]

В целочисленная последовательность грамм(0) = 1, грамм(1) = 1, грамм(2) = 2, грамм(3) = 3, грамм(4) = 4, грамм(5) = 6, грамм(6) = 6, грамм(7) = 12, грамм(8) = 15, ... (последовательность A000793 в OEIS ) назван в честь Эдмунд Ландау, доказавший в 1902 г.^[2] который

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(g(n))}{\sqrt {n\ln(n)}}}=1}$

(где ln обозначает натуральный логарифм ). Другими словами, ${\displaystyle g(n)\sim e^{\sqrt {n\ln n}}}$.

Заявление о том, что

${\displaystyle \ln g(n)<{\sqrt {\mathrm {Li} ^{-1}(n)}}}$

для всех достаточно больших п, где Ли⁻¹ обозначает инверсию логарифмическая интегральная функция, эквивалентно Гипотеза Римана.

Можно показать, что

${\displaystyle g(n)\leq e^{n/e}}$

с единственным равенством функций при п = 0, и действительно

${\displaystyle g(n)\leq \exp \left(1.05314{\sqrt {n\ln n}}\right).}$^[3]

Примечания

1. Николя, Жан-Луи (1968), "Sur l'ordre maximum d'un élément dans le groupe" S_п де перестановки ", Acta Arithmetica (На французском), 14: 315–332
2. Ландау, стр. 92–103.
3. Жан-Пьер Массиас, Majoration Explicite de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique, Анна. Фак. Sci. Toulouse Math. (5) 6 (1984), нет. 3-4, стр. 269–281 (1985).

Рекомендации

• Э. Ландау, "Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades [О максимальном порядке перестановок данной степени]", Arch. Математика. Phys. Сер. 3, т. 5, 1903 г.
• В. Миллер, "Максимальный порядок элемента конечной симметрической группы", Американский математический ежемесячный журнал, т. 94, 1987, с. 497–506.
• Ж.-Л. Николас, "О функции Ландау". грамм(п)", в Математика Пола Эрдёша, т. 1, Springer-Verlag, 1997, стр. 228–240.

внешняя ссылка

• OEIS последовательность A000793 (функция Ландау от натуральных чисел)