В небесная механика, Проблема Ламберта касается определения орбиты из двух векторов положения и времени полета, поставленных в 18 веке Иоганн Генрих Ламберт и формально решена математическим доказательством Жозеф-Луи Лагранж. Он имеет важные приложения в областях сближения, целеуказания, наведения и предварительного определения орбиты.[1]
Предположим, что тело под действием центральной гравитационной силы движется из точки п1 по его конической траектории в точку п2 вовремя Т. Время полета связано с другими переменными теоремой Ламберта, которая гласит:
- Время переноса тела, движущегося между двумя точками по конической траектории, зависит только от суммы расстояний двух точек от источника силы, линейного расстояния между точками и большой полуоси коники.[2]
Другими словами, проблема Ламберта - это краевая задача для дифференциальное уравнение

из проблема двух тел когда масса одного тела бесконечно мала; эта часть задачи двух тел известна как Орбита Кеплера.
Точная формулировка проблемы Ламберта такова:
Два разных раза
и два позиционных вектора
даны.
Найти решение
удовлетворяющее приведенному выше дифференциальному уравнению, для которого


Первоначальный геометрический анализ
Рисунок 1:

это центр притяжения,

- точка, соответствующая вектору

, и

- точка, соответствующая вектору

Рисунок 2: Гипербола с точками

и

как очаги, проходящие через

Рисунок 3: Эллипс с точками

и

как очаги, проходящие через

и

Три точки
, центр притяжения,
, точка, соответствующая вектору
,
, точка, соответствующая вектору
,
образуют треугольник в плоскости, определяемой векторами
и
как показано на рисунке 1. Расстояние между точками
и
является
, расстояние между точками
и
является
и расстояние между точками
и
является
. Значение
положительный или отрицательный в зависимости от того, какая из точек
и
что дальше всего от точки
. Решаемая геометрическая задача - найти все эллипсы которые проходят через точки
и
и сосредоточьтесь на точке 
Точки
,
и
определить гипербола проходя через точку
с очагами в точках
и
. Смысл
находится либо на левой, либо на правой ветви гиперболы в зависимости от знака
. Большая полуось этой гиперболы проходит через
и эксцентричность
является
. Эта гипербола показана на рисунке 2.
Относительно обычной канонической системы координат, определяемой большой и малой осями гиперболы, ее уравнение имеет вид

с

Для любой точки на той же ветви гиперболы, что и
разница между расстояниями
В точку
и
В точку
является

Для любой точки
на другой ветви гиперболы соответствующее соотношение есть

т.е.

Но это означает, что точки
и
оба находятся на эллипсе с фокусами
и
и большая полуось

Эллипс, соответствующий произвольно выбранной точке
отображается на рисунке 3.
Решение для предполагаемой эллиптической переходной орбиты
Первый разделяет случаи наличия орбитальный полюс в направлении
или в направлении
. В первом случае угол переноса
для первого прохождения через
будет в интервале
а во втором - в интервале
. потом
продолжит проходить
каждый орбитальный оборот.
В случае
равен нулю, т.е.
и
имеют противоположные направления, все орбитальные плоскости, содержащие соответствующую линию, одинаково адекватны, а угол переноса
для первого прохождения через
будет
.
Для любого
с
треугольник, образованный
,
и
как на рисунке 1 с

а большая полуось (со знаком!) гиперболы, описанной выше, равна

Эксцентриситет (со знаком!) Для гиперболы равен

а малая полуось -

Координаты точки
относительно канонической системы координат для гиперболы (заметим, что
имеет знак
)


куда

Используя координату y точки
на другой ветви гиперболы как свободный параметр x-координата
это (обратите внимание, что
имеет знак
)

Большая полуось эллипса, проходящая через точки
и
фокусы
и
является

Расстояние между фокусами

и, следовательно, эксцентриситет

Настоящая аномалия
в точке
зависит от направления движения, т.е. если
положительный или отрицательный. В обоих случаях

куда


- единичный вектор в направлении от
к
выражается в канонических координатах.
Если
положительно тогда

Если
отрицательно тогда

С
- большая полуось
- эксцентриситет
- начальная истинная аномалия
будучи известными функциями параметра y, время, за которое истинная аномалия увеличивается с величиной
также известная функция от y. Если
находится в диапазоне, который может быть получен с помощью эллиптической орбиты Кеплера, соответствующее значение y затем может быть найдено с помощью итерационного алгоритма.
В частном случае, когда
(или очень близко)
и гипербола с двумя ветвями превращается в одну единственную линию, ортогональную линии между
и
с уравнением

Уравнения (11) и (12) затем заменяются на


(14) заменяется на

и (15) заменяется на

Числовой пример
Рисунок 4: Время передачи с: р1 = 10000 км: р2 = 16000 км: α = 120 ° как функция у когда у варьируется от −20000 км до 50000 км. Время передачи уменьшается с 20741 секунды с у = От −20000 км до 2856 секунд с у = 50000 км. Для любого значения от 2856 секунд до 20741 секунды проблема Ламберта может быть решена с помощью у-значение от −20000 км до 50000 км
Примите следующие значения для орбиты Кеплера с центром в Земле
- р1 = 10000 км
- р2 = 16000 км
- α = 100°
Это числовые значения, соответствующие цифрам 1, 2 и 3.
Выбор параметра у для 30000 км время перехода составляет 3072 секунды, если предположить, что гравитационная постоянная равна
= 398603 км3/ с2. Соответствующие орбитальные элементы
- Большая полуось = 23001 км
- эксцентриситет = 0,566613
- истинная аномалия во времени т1 = −7.577°
- истинная аномалия во времени т2 = 92.423°
Этот у-значение соответствует рисунку 3.
С
- р1 = 10000 км
- р2 = 16000 км
- α = 260°
получается такой же эллипс с противоположным направлением движения, т.е.
- истинная аномалия во времени т1 = 7.577°
- истинная аномалия во времени т2 = 267.577° = 360° − 92.423°
и время передачи 31645 секунд.
Затем можно вычислить радиальную и тангенциальную составляющие скорости по формулам (см. Орбита Кеплера статья)


Время трансфера от п1 к п2 для других значений у показаны на рисунке 4.
Практическое применение
Наиболее типичное использование этого алгоритма для решения проблемы Ламберта, безусловно, для разработки межпланетных миссий. Космический корабль, путешествующий с Земли, например, на Марс, можно в первом приближении рассматривать как движущийся по гелиоцентрической эллиптической орбите Кеплера от положения Земли во время запуска до положения Марса во время прибытия. Сравнивая начальный и конечный вектор скорости этой гелиоцентрической орбиты Кеплера с соответствующими векторами скорости для Земли и Марса, можно получить довольно хорошую оценку требуемой энергии запуска и маневров, необходимых для захвата на Марсе. Этот подход часто используется в сочетании с исправленная коническая аппроксимация.
Это также метод для определение орбиты. Если два положения космического корабля в разное время известны с хорошей точностью (например, GPS fix) с помощью этого алгоритма может быть получена полная орбита, то есть получается интерполяция и экстраполяция этих двух фиксированных координат.
Открытый исходный код
Из MATLAB central
PyKEP - библиотека Python для механики космического полета и астродинамики (содержит решатель Ламберта, реализованный на C ++ и доступный для python через boost python)
Рекомендации
Внешняя ссылка
Теорема Ламберта через аффинную линзу. Статья Алена Албуи, содержащая современное обсуждение проблемы Ламберта и исторический график. arXiv:1711.03049
Возвращаясь к проблеме Ламберта. Статья Дарио Иззо, содержащая алгоритм для обеспечения точного предположения для итеративного метода домохозяина, который не уступает по точности процедуре Гудинга, но при этом более эффективен в вычислительном отношении. Дои:10.1007 / s10569-014-9587-у