Проблема Ламбертса - Lamberts problem

В небесная механика, Проблема Ламберта касается определения орбиты из двух векторов положения и времени полета, поставленных в 18 веке Иоганн Генрих Ламберт и формально решена математическим доказательством Жозеф-Луи Лагранж. Он имеет важные приложения в областях сближения, целеуказания, наведения и предварительного определения орбиты.^[1]

Предположим, что тело под действием центральной гравитационной силы движется из точки п₁ по его конической траектории в точку п₂ вовремя Т. Время полета связано с другими переменными теоремой Ламберта, которая гласит:

Время переноса тела, движущегося между двумя точками по конической траектории, зависит только от суммы расстояний двух точек от источника силы, линейного расстояния между точками и большой полуоси коники.^[2]

Другими словами, проблема Ламберта - это краевая задача для дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\ddot {\bar {r}}}=-\mu \cdot {\frac {\hat {r}}{r^{2}}}\ \ }$

из проблема двух тел когда масса одного тела бесконечно мала; эта часть задачи двух тел известна как Орбита Кеплера.

Точная формулировка проблемы Ламберта такова:

Два разных раза ${\displaystyle \ t_{1}\ ,\ t_{2}\ }$ и два позиционных вектора ${\displaystyle {\bar {r}}_{1}=r_{1}{\hat {r}}_{1},\ {\bar {r}}_{2}=r_{2}{\hat {r}}_{2}\ }$ даны.

Найти решение ${\displaystyle {\bar {r}}(t)}$ удовлетворяющее приведенному выше дифференциальному уравнению, для которого

${\displaystyle {\bar {r}}(t_{1})={\bar {r}}_{1}}$

${\displaystyle {\bar {r}}(t_{2})={\bar {r}}_{2}.}$

Первоначальный геометрический анализ

Рисунок 1: ${\displaystyle F_{1}}$ это центр притяжения, ${\displaystyle P_{1}}$ - точка, соответствующая вектору ${\displaystyle {\bar {r}}_{1}\ }$, и ${\displaystyle P_{2}}$ - точка, соответствующая вектору ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}\ }$

Рисунок 2: Гипербола с точками ${\displaystyle P_{1}\ }$ и ${\displaystyle P_{2}\ }$ как очаги, проходящие через ${\displaystyle F_{1}\ }$

Рисунок 3: Эллипс с точками ${\displaystyle F_{1}\ }$ и ${\displaystyle F_{2}\ }$ как очаги, проходящие через ${\displaystyle P_{1}\ }$ и ${\displaystyle P_{2}\ }$

Три точки

${\displaystyle F_{1}}$, центр притяжения,

${\displaystyle P_{1}}$, точка, соответствующая вектору ${\displaystyle {\bar {r}}_{1}\ }$,

${\displaystyle P_{2}}$, точка, соответствующая вектору ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}\ }$,

образуют треугольник в плоскости, определяемой векторами ${\displaystyle {\bar {r}}_{1}\ }$ и ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}\ }$ как показано на рисунке 1. Расстояние между точками ${\displaystyle P_{1}\ }$ и ${\displaystyle P_{2}\ }$ является ${\displaystyle 2d\ }$, расстояние между точками ${\displaystyle P_{1}\ }$ и ${\displaystyle F_{1}\ }$ является ${\displaystyle r_{1}=r_{m}-A\ }$ и расстояние между точками ${\displaystyle P_{2}\ }$ и ${\displaystyle F_{1}\ }$ является ${\displaystyle r_{2}=r_{m}+A\ }$. Значение ${\displaystyle A\ }$ положительный или отрицательный в зависимости от того, какая из точек ${\displaystyle P_{1}\ }$ и ${\displaystyle P_{2}\ }$ что дальше всего от точки ${\displaystyle F_{1}\ }$. Решаемая геометрическая задача - найти все эллипсы которые проходят через точки ${\displaystyle P_{1}\ }$ и ${\displaystyle P_{2}\ }$ и сосредоточьтесь на точке ${\displaystyle F_{1}\ }$

Точки ${\displaystyle F_{1}\ }$, ${\displaystyle P_{1}\ }$ и ${\displaystyle P_{2}\ }$ определить гипербола проходя через точку ${\displaystyle F_{1}\ }$ с очагами в точках ${\displaystyle P_{1}\ }$ и ${\displaystyle P_{2}\ }$. Смысл ${\displaystyle F_{1}\ }$ находится либо на левой, либо на правой ветви гиперболы в зависимости от знака ${\displaystyle A\ }$. Большая полуось этой гиперболы проходит через ${\displaystyle |A|\ }$ и эксцентричность ${\displaystyle E\ }$ является ${\displaystyle {\frac {d}{|A|}}\ }$. Эта гипербола показана на рисунке 2.

Относительно обычной канонической системы координат, определяемой большой и малой осями гиперболы, ее уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{A^{2}}}-{\frac {y^{2}}{B^{2}}}=1\quad (1)}$

с

${\displaystyle B=|A|{\sqrt {E^{2}-1}}={\sqrt {d^{2}-A^{2}}}\quad (2)}$

Для любой точки на той же ветви гиперболы, что и ${\displaystyle F_{1}\ }$ разница между расстояниями ${\displaystyle r_{2}\ }$ В точку ${\displaystyle P_{2}\ }$ и ${\displaystyle r_{1}\ }$ В точку ${\displaystyle P_{1}\ }$ является

${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2A\quad (3)}$

Для любой точки ${\displaystyle F_{2}\ }$ на другой ветви гиперболы соответствующее соотношение есть

${\displaystyle s_{1}-s_{2}=2A\quad (4)}$

т.е.

${\displaystyle r_{1}+s_{1}=r_{2}+s_{2}\quad (5)}$

Но это означает, что точки ${\displaystyle P_{1}\ }$ и ${\displaystyle P_{2}\ }$ оба находятся на эллипсе с фокусами ${\displaystyle F_{1}\ }$ и ${\displaystyle F_{2}\ }$ и большая полуось

${\displaystyle a={\frac {r_{1}+s_{1}}{2}}={\frac {r_{2}+s_{2}}{2}}\quad (6)}$

Эллипс, соответствующий произвольно выбранной точке ${\displaystyle F_{2}\ }$ отображается на рисунке 3.

Решение для предполагаемой эллиптической переходной орбиты

Первый разделяет случаи наличия орбитальный полюс в направлении ${\displaystyle {\bar {r}}_{1}\times {\bar {r}}_{2}\ }$ или в направлении ${\displaystyle -{\bar {r}}_{1}\times {\bar {r}}_{2}\ }$. В первом случае угол переноса ${\displaystyle \alpha }$ для первого прохождения через ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$ будет в интервале ${\displaystyle \ 0<\alpha <180^{\circ }}$ а во втором - в интервале ${\displaystyle 180^{\circ }<\alpha <360^{\circ }}$. потом ${\displaystyle {\bar {r}}(t)}$ продолжит проходить ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$ каждый орбитальный оборот.

В случае ${\displaystyle {\bar {r}}_{1}\times {\bar {r}}_{2}\ }$ равен нулю, т.е. ${\displaystyle {\bar {r}}_{1}}$ и ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}\ }$ имеют противоположные направления, все орбитальные плоскости, содержащие соответствующую линию, одинаково адекватны, а угол переноса ${\displaystyle \alpha }$ для первого прохождения через ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$ будет ${\displaystyle 180^{\circ }}$.

Для любого ${\displaystyle \alpha }$ с ${\displaystyle \ 0<\alpha <\infty }$ треугольник, образованный ${\displaystyle P_{1}\ }$, ${\displaystyle P_{2}\ }$ и ${\displaystyle F_{1}\ }$ как на рисунке 1 с

${\displaystyle d={\frac {\sqrt {{r_{1}}^{2}+{r_{2}}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \alpha }}{2}}\quad (7)}$

а большая полуось (со знаком!) гиперболы, описанной выше, равна

${\displaystyle A={\frac {r_{2}-r_{1}}{2}}\quad (8)}$

Эксцентриситет (со знаком!) Для гиперболы равен

${\displaystyle E={\frac {d}{A}}\quad (9)}$

а малая полуось -

${\displaystyle B=|A|{\sqrt {E^{2}-1}}={\sqrt {d^{2}-A^{2}}}\quad (10)}$

Координаты точки ${\displaystyle F_{1}\ }$ относительно канонической системы координат для гиперболы (заметим, что ${\displaystyle E}$ имеет знак ${\displaystyle r_{2}-r_{1}}$)

${\displaystyle x_{0}=-{\frac {r_{m}}{E}}\quad (11)}$

${\displaystyle y_{0}=B{\sqrt {{\left({\frac {x_{0}}{A}}\right)}^{2}-1}}\quad (12)}$

куда

${\displaystyle r_{m}={\frac {r_{2}+r_{1}}{2}}\quad (13)}$

Используя координату y точки ${\displaystyle F_{2}\ }$ на другой ветви гиперболы как свободный параметр x-координата ${\displaystyle F_{2}\ }$ это (обратите внимание, что ${\displaystyle A}$ имеет знак ${\displaystyle r_{2}-r_{1}}$)

${\displaystyle x=A{\sqrt {1+{\left({\frac {y}{B}}\right)}^{2}}}\quad (14)}$

Большая полуось эллипса, проходящая через точки ${\displaystyle P_{1}\ }$ и ${\displaystyle P_{2}\ }$ фокусы ${\displaystyle F_{1}\ }$ и ${\displaystyle F_{2}\ }$ является

${\displaystyle a={\frac {r_{1}+s_{1}}{2}}={\frac {r_{2}+s_{2}}{2}}\ ={\frac {r_{m}+Ex}{2}}\quad (15)}$

Расстояние между фокусами

${\displaystyle {\sqrt {{(x_{0}-x)}^{2}+{(y_{0}-y)}^{2}}}\quad (16)}$

и, следовательно, эксцентриситет

${\displaystyle e={\frac {\sqrt {{(x_{0}-x)}^{2}+{(y_{0}-y)}^{2}}}{2a}}\quad (17)}$

Настоящая аномалия ${\displaystyle \theta _{1}}$ в точке ${\displaystyle P_{1}\ }$ зависит от направления движения, т.е. если ${\displaystyle \sin \alpha }$ положительный или отрицательный. В обоих случаях

${\displaystyle \cos \theta _{1}=-{\frac {(x_{0}+d)f_{x}+y_{0}f_{y}}{r_{1}}}\quad (18)}$

куда

${\displaystyle f_{x}={\frac {x_{0}-x}{\sqrt {{(x_{0}-x)}^{2}+{(y_{0}-y)}^{2}}}}\quad (19)}$

${\displaystyle f_{y}={\frac {y_{0}-y}{\sqrt {{(x_{0}-x)}^{2}+{(y_{0}-y)}^{2}}}}\quad (20)}$

- единичный вектор в направлении от ${\displaystyle F_{2}}$ к ${\displaystyle F_{1}}$ выражается в канонических координатах.

Если ${\displaystyle \sin \alpha }$ положительно тогда

${\displaystyle \sin \theta _{1}={\frac {(x_{0}+d)f_{y}-y_{0}f_{x}}{r_{1}}}\quad (21)}$

Если ${\displaystyle \sin \alpha }$ отрицательно тогда

${\displaystyle \sin \theta _{1}=-{\frac {(x_{0}+d)f_{y}-y_{0}f_{x}}{r_{1}}}\quad (22)}$

С

• большая полуось
• эксцентриситет
• начальная истинная аномалия

будучи известными функциями параметра y, время, за которое истинная аномалия увеличивается с величиной ${\displaystyle \alpha }$ также известная функция от y. Если ${\displaystyle t_{2}-t_{1}}$ находится в диапазоне, который может быть получен с помощью эллиптической орбиты Кеплера, соответствующее значение y затем может быть найдено с помощью итерационного алгоритма.

В частном случае, когда ${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$ (или очень близко) ${\displaystyle A=0}$ и гипербола с двумя ветвями превращается в одну единственную линию, ортогональную линии между ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ с уравнением

${\displaystyle x=0\quad (1')}$

Уравнения (11) и (12) затем заменяются на

${\displaystyle x_{0}=0\quad (11')}$

${\displaystyle y_{0}={\sqrt {{r_{m}}^{2}-d^{2}}}\quad (12')}$

(14) заменяется на

${\displaystyle x=0\quad (14')}$

и (15) заменяется на

${\displaystyle a={\frac {r_{m}+{\sqrt {d^{2}+y^{2}}}}{2}}\quad (15')}$

Числовой пример

Рисунок 4: Время передачи с: р₁ = 10000 км: р₂ = 16000 км: α = 120 ° как функция у когда у варьируется от −20000 км до 50000 км. Время передачи уменьшается с 20741 секунды с у = От −20000 км до 2856 секунд с у = 50000 км. Для любого значения от 2856 секунд до 20741 секунды проблема Ламберта может быть решена с помощью у-значение от −20000 км до 50000 км

Примите следующие значения для орбиты Кеплера с центром в Земле

• р₁ = 10000 км
• р₂ = 16000 км
• α = 100°

Это числовые значения, соответствующие цифрам 1, 2 и 3.

Выбор параметра у для 30000 км время перехода составляет 3072 секунды, если предположить, что гравитационная постоянная равна ${\displaystyle \mu }$ = 398603 км³/ с². Соответствующие орбитальные элементы

• Большая полуось = 23001 км
• эксцентриситет = 0,566613
• истинная аномалия во времени т₁ = −7.577°
• истинная аномалия во времени т₂ = 92.423°

Этот у-значение соответствует рисунку 3.

С

• р₁ = 10000 км
• р₂ = 16000 км
• α = 260°

получается такой же эллипс с противоположным направлением движения, т.е.

• истинная аномалия во времени т₁ = 7.577°
• истинная аномалия во времени т₂ = 267.577° = 360° − 92.423°

и время передачи 31645 секунд.

Затем можно вычислить радиальную и тангенциальную составляющие скорости по формулам (см. Орбита Кеплера статья)

${\displaystyle V_{r}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot e\cdot \sin \theta \ }$

${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta ).}$

Время трансфера от п₁ к п₂ для других значений у показаны на рисунке 4.

Практическое применение

Наиболее типичное использование этого алгоритма для решения проблемы Ламберта, безусловно, для разработки межпланетных миссий. Космический корабль, путешествующий с Земли, например, на Марс, можно в первом приближении рассматривать как движущийся по гелиоцентрической эллиптической орбите Кеплера от положения Земли во время запуска до положения Марса во время прибытия. Сравнивая начальный и конечный вектор скорости этой гелиоцентрической орбиты Кеплера с соответствующими векторами скорости для Земли и Марса, можно получить довольно хорошую оценку требуемой энергии запуска и маневров, необходимых для захвата на Марсе. Этот подход часто используется в сочетании с исправленная коническая аппроксимация.

Это также метод для определение орбиты. Если два положения космического корабля в разное время известны с хорошей точностью (например, GPS fix) с помощью этого алгоритма может быть получена полная орбита, то есть получается интерполяция и экстраполяция этих двух фиксированных координат.

Открытый исходный код

Из MATLAB central

PyKEP - библиотека Python для механики космического полета и астродинамики (содержит решатель Ламберта, реализованный на C ++ и доступный для python через boost python)

Рекомендации

1. Э. Р. Ланкастер и Р. К. Бланшар, Единая форма теоремы Ламберта, Центр космических полетов Годдарда, 1968 г.
2. Джеймс Ф. Джордон, Применение теоремы Ламберта к решению задач межпланетных перелетов, Лаборатория реактивного движения, 1964 г.

Внешняя ссылка

Теорема Ламберта через аффинную линзу. Статья Алена Албуи, содержащая современное обсуждение проблемы Ламберта и исторический график. arXiv:1711.03049

Возвращаясь к проблеме Ламберта. Статья Дарио Иззо, содержащая алгоритм для обеспечения точного предположения для итеративного метода домохозяина, который не уступает по точности процедуре Гудинга, но при этом более эффективен в вычислительном отношении. Дои:10.1007 / s10569-014-9587-у