Лемма Краснера - Krasners lemma

В теория чисел, более конкретно в п-адический анализ, Лемма Краснера основной результат, относящийся к топология из полный неархимедово поле к его алгебраические расширения.

Заявление

Позволять K - полное неархимедово поле и пусть K быть отделяемое закрытие из K. Для элемента α из K, обозначим его Конъюгаты Галуа к α₂, ..., α_п. Лемма Краснера утверждает:^[1][2]

если элемент β из K таково, что

${\displaystyle \left|\alpha -\beta \right|<\left|\alpha -\alpha _{i}\right|{\text{ for }}i=2,\dots ,n}$

тогда K(α) ⊆ K(β).

Приложения

• Лемму Краснера можно использовать, чтобы показать, что ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-адическое завершение и раздельное закрытие глобальные поля ездить.^[3] Другими словами, учитывая ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ а основной глобального поля L, разделимое замыкание ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-адическое завершение L равно ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {p}}}}$-адическое завершение разделимого замыкания L (куда ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {p}}}}$ является лучшим из L над ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$).
• Другое применение - доказать, что C_п - завершение алгебраического замыкания Q_п - является алгебраически замкнутый.^[4][5]

Обобщение

Лемма Краснера имеет следующее обобщение.^[6]Рассмотрим монический многочлен

${\displaystyle f^{*}=\prod _{k=1}^{n}(X-\alpha _{k}^{*})}$

степени п > 1 с коэффициентами в Гензельское месторождение (K, v) и корни в алгебраическом замыкании K. Позволять я и J - два непересекающихся непустых множества с объединением {1, ...,п}. Кроме того, рассмотрим полиномиальный

${\displaystyle g=\prod _{i\in I}(X-\alpha _{i})}$

с коэффициентами и корнями в K. Предполагать

${\displaystyle \forall i\in I\forall j\in J:v(\alpha _{i}-\alpha _{i}^{*})>v(\alpha _{i}^{*}-\alpha _{j}^{*}).}$

Тогда коэффициенты многочленов

${\displaystyle g^{*}:=\prod _{i\in I}(X-\alpha _{i}^{*}),\ h^{*}:=\prod _{j\in J}(X-\alpha _{j}^{*})}$

содержатся в расширении поля K генерируется коэффициентами грамм. (Исходная лемма Краснера соответствует ситуации, когда грамм имеет степень 1.)

Примечания

1. Лемма 8.1.6 из Нойкирх, Шмидт и Вингберг, 2008 г. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFNeukirchSchmidtWingberg2008 (помощь)
2. Лоренц (2008) стр.78
3. Предложение 8.1.5 Нойкирх, Шмидт и Вингберг, 2008 г. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFNeukirchSchmidtWingberg2008 (помощь)
4. Предложение 10.3.2 Нойкирх, Шмидт и Вингберг, 2008 г. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFNeukirchSchmidtWingberg2008 (помощь)
5. Лоренц (2008) стр.80
6. Бринк (2006), теорема 6

Рекомендации

• Бринк, Дэвид (2006). "Новый взгляд на лемму Гензеля". Expositiones Mathematicae. 24 (4): 291–306. Дои:10.1016 / j.exmath.2006.01.002. ISSN  0723-0869. Zbl  1142.12304.
• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и продвинутые темы. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001.
• Наркевич, Владислав (2004). Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел. Монографии Спрингера по математике (3-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. п. 206. ISBN  3-540-21902-1. Zbl  1159.11039.
• Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008), Когомологии числовых полей, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (Второе изд.), Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-37888-4, МИСТЕР  2392026, Zbl  1136.11001