Klumpenhouwer сеть - Klumpenhouwer network

7-нотный сегмент интервальный цикл C7

А Klumpenhouwer Network, названный в честь его изобретателя, канадца теоретик музыки и бывший докторант Дэвид Левин 'сидел Гарвард, Генри Клумпенхауэр, является "любой сеть который использует операции T и / или I (транспозиция или же инверсия ) для интерпретации взаимоотношений между ПК »(класс поля наборы ).[1] В соответствии с Джордж Перл, "сеть Клумпенхауэра - это аккорд проанализированы с точки зрения его диадический суммы и различия, "и" подобный анализ триадных комбинаций подразумевается в "его" концепции циклический набор с самого начала",[2] циклические множества, являющиеся такими "наборы чьи альтернативные элементы разворачиваются дополнительный циклы одного интервал."[3]

Циклический набор (сумма 9) из Берга Лирическая сюита

«Идея Клумпенхауэра, одновременно простая и глубокая по своим последствиям, состоит в том, чтобы разрешить инверсионные, а также транспозиционные отношения в сетях, подобных тем, которые показаны на рисунке 1»,[1] показывает стрелку вниз от B к F♯ помечено T7, вниз от F♯ к A с надписью T3, и вернитесь из точки A в точку B, обозначенную буквой T10 что позволяет представить его на рисунке 2а, например, обозначенным I5, Я3, и т2.[1] На рисунке 4 это (b) I7, Я5, Т2 и (c) я5, Я3, Т2.

Аккорд 1. Отношения K-net, инверсионные и транспозиционные, представленные стрелками, буквами и цифрами.
Хорда 2. Инверсионные и транспозиционные отношения K-net, представленные стрелками, буквами и цифрами.
Хорда 3. Этот аккорд с аккордом 1 представляет собой пример правила №1 посредством сетевого изоморфизма. [6]

Левин утверждает, что "рекурсивный потенциал K-сетевого анализа »[4]... "" в общем: когда система модулируется операцией A, преобразование f ' = A f A -инверсия играет структурную роль в модулированной системе, которую f играл в исходной системе ».[5]

Учитывая любую сеть классы поля, и для любой операции ПК A вторая сеть может быть получена из первой, и таким образом получена связь сетевой изоморфизм "возникает между сетями, использующими аналогичные конфигурации узлы и стрелки для интерпретации компьютерных наборов одного класса ".[6] "изоморфизм графов. Два графика изоморфный когда они используют одну и ту же структуру узлов и стрелок, и когда также операции, маркирующие соответствующие стрелки, соответствуют определенному виду отображения f среди T / I ».[7]

"Для создания изоморфных графов отображение f должно быть тем, что называется автоморфизм системы T / I. Сети с изоморфными графами называются изографический."[7]

"быть изографический, две сети должны иметь следующие функции:

  1. Они должны иметь одинаковую конфигурацию узлов и стрелок.
  2. Должны быть некоторые изоморфизм F, который отображает трансформация -система, используемая для обозначения стрелок одной сети, в систему преобразования, используемую для обозначения стрелок другой сети.
  3. Если преобразование X помечает стрелку одной сети, то преобразование F (X) отмечает соответствующую стрелку другой ".

"Две сети положительно изографический когда они используют одну и ту же конфигурацию узлов и стрелок, когда T-числа соответствующих стрелок равны и когда I-числа соответствующих стрелок отличаются на некоторое фиксированное число j mod 12. "[7] «Мы называем сети, содержащие идентичные графы,« строго изографическими »».[8] «Пусть семейство транспозиций и инверсий на полевых классах назовем Группа T / I.'"[9]

"Любая сеть может быть ретроградный перевернув все стрелки и соответствующим образом скорректировав трансформации ".[7]

[Истинная] гипотеза Клюмпенхауэра: «узлы (a) и (b), имеющие одинаковую конфигурацию стрелок, всегда будут изографическими, если каждое T-число Сети (b) совпадает с соответствующим T-числом Сети (a ), в то время как каждое I-число Сети (b) ровно на j больше соответствующего I-числа Сети (a), где j - некоторое постоянное число по модулю 12. "[6]

Пять правил изографии сетей Клумпенхауэра:

  1. Сети Клумпенхауэра (a) и (b), использующие одну и ту же конфигурацию узлов и стрелок, будут изографическими при том условии, что каждое T-число Сети (b) совпадает с соответствующим T-числом Сети (a), и каждое I-число Сети (b) ровно на j больше, чем соответствующее I-число Сети (a). Соответствующий автоморфизм группы T / I - это F (1, j): F (1, j) (Tп) = Tп; F (1, j) (Iп) = Яп + J.
  2. Сети Клумпенхауэра (a) и (b) будут изографическими при том условии, что каждое T-число Сети (b) является дополнением соответствующего T-числа в Сети (a), а каждое I-число Сети (b) ) ровно на j больше, чем дополнение соответствующего I-числа в Сети (a) ... F (11, j): F (11, j) (Tп) = T−n; F (11, j) (Iп) = Я−n + j."
  3. Сети Клумпенхауэра (a) и (b) будут изографическими при условии, что каждое T-число Сети (b) в 5 раз больше соответствующего T-числа в Сети (a), и каждое I-число Сети (b) равно ровно j более чем в 5 раз больше соответствующего I-числа в Сети (a) ... F (5, j): F (5, j) (Tп) = T5н; F (5, j) (Iп) = Я5n + j.[7]
  4. Сети Клумпенхауэра (a) и (b) будут изографическими при условии, что каждое T-число Сети (b) в 7 раз больше соответствующего T-числа в Сети (a), и каждое I-число Сети (b) равно ровно j больше, чем в 7 раз больше соответствующего I-числа в Сети (a) ... F (7, j): F (7, j) (Tп) = T7n; F (7, j) (Iп) = Я7n + j.
  5. «Сети Клумпенхауэра (а) и (б), даже если они используют одну и ту же конфигурацию узлов и стрелок, не будут изографическими ни при каких других обстоятельствах».[7]

«Таким образом, любая из триадных сетей Клапменхауэра может быть понята как сегмент циклического множества, и интерпретации этих и« сетей сетей »... эффективно и экономично представлены таким образом».[2]

Если графы хорд изоморфны посредством соответствующих операций F (u, j), то они могут быть изображены как их собственная сеть.[10]

График графиков из шести аккордов Шенберга Пьеро Лунайр, №4, мм. 13-14.[10]

Другие условия включают Трансформационная сеть Левина[11] и сильно изоморфный.[12]

Смотрите также

дальнейшее чтение

  • в Обобщенные музыкальные интервалы и преобразования (Нью-Хейвен и Лондон: издательство Йельского университета, 1987), 159-60, Дэвид Левин обсуждает «родственную сеть, включающую питчи и интервалы подачи, а не классы высоты тона и интервал ПК».[13]
  • Дональд Мартино (1961), "Исходный набор и его Совокупный Образования " Журнал теории музыки 5, вып. 2 (осень): 224-73.
  • Аллен Форте, Структура атональной музыки (Нью-Хейвен: издательство Йельского университета, 1973).
  • Джон Ран, Основная атональная теория (Нью-Йорк и Лондон: Longman's, 1980).[14]
  • Рёдер, Джон (1989). «Гармонические последствия наблюдений Шенберга над атональным голосом», Журнал теории музыки 33, нет. 1 (Весна): 27-62.[15]
  • Моррис, Роберт (1987). Композиция с питч-классами, п. 167. Нью-Хейвен и Лондон: Издательство Йельского университета. ISBN  0-300-03684-1. Обсуждает автоморфизмы.[9]

Источники

  1. ^ а б c Левин, Дэвид (1990). "Сети Клумпенхауэра и некоторые изографий, которые их затрагивают", стр. 84, Музыка Теория Спектр, Vol. 12, No. 1 (Spring), pp. 83-120.
  2. ^ а б Перл, Джордж (1993). "Письмо Джорджа Перла", Музыка Теория Спектр, Vol. 15, No. 2 (Осень), pp. 300-303.
  3. ^ Перл, Джордж (1996). Двенадцатитоновая тональность, стр.21. ISBN  0-520-20142-6.
  4. ^ Левин, Дэвид (1994). "Учебник по сетям Клумпенхауэра, Использование хорала в Шенберге Opus 11, № 2", стр. 90, Журнал теории музыки, Vol. 38, No. 1 (Spring), pp. 79-101.
  5. ^ Левин (1990), стр.86. цитирование GMIT, с.149.
  6. ^ а б Левин (1990), стр.87.
  7. ^ а б c d е ж Левин (1990), стр.88.
  8. ^ Левин (1990, 84); Клумпенхауэр (1991, 329). цитируется по Klumpenhouwer (1994), p.222.
  9. ^ а б Левин (1990, 86).
  10. ^ а б Левин (1990, 92).
  11. ^ Клумпенхауэр (1991), стр. 320. цитируя Дэвида Левина (1988), Обобщенные музыкальные интервалы и преобразования. (Нью-Хейвен: издательство Йельского университета), 154-244.
  12. ^ Клупенхауэр (1991), стр. 322.
  13. ^ Левин (1990), стр.83.
  14. ^ Клумпенхауэр, Генри (1991). "Аспекты рядовой структуры и гармонии в импровизированном произведении Мартино № 6", с.318n1, Перспективы новой музыки, Vol. 29, № 2 (Лето), стр. 318-354.
  15. ^ цитируется в Klumpenhouwer (1991), p.354: «Родер в основном, хотя и не исключительно, интересуется обычный тон отношения между парами аккордов, чьи основные высоты связаны способами, которые он формализовал из замечаний Шенберга Harmonielehre."