Теорема Харитонова - Kharitonovs theorem

Теорема Харитонова результат используется в теория управления оценить стабильность из динамическая система когда физические параметры системы неизвестны точно. Когда коэффициенты характеристический многочлен известны, Критерий устойчивости Рауса – Гурвица. может использоваться, чтобы проверить, стабильна ли система (т.е. все ли корни имеют отрицательные реальные части). Теорема Харитонова может быть использована в случае, когда известно, что коэффициенты находятся только в определенных диапазонах. Он обеспечивает проверку стабильности так называемого интервальный многочлен, а Рауса – Гурвица занимается обычным многочлен.

Определение

Интервальный многочлен - это семейство всех многочленов

${\displaystyle p(s)=a_{0}+a_{1}s^{1}+a_{2}s^{2}+...+a_{n}s^{n}}$

где каждый коэффициент ${\displaystyle a_{i}\in R}$ может принимать любое значение в указанные интервалы

${\displaystyle l_{i}\leq a_{i}\leq u_{i}.}$

Также предполагается, что старший коэффициент не может быть равен нулю: ${\displaystyle 0\notin [l_{n},u_{n}]}$.

Теорема

Интервальный многочлен стабилен (то есть все члены семейства стабильны) тогда и только тогда, когда четыре так называемых Полиномы Харитонова

${\displaystyle k_{1}(s)=l_{0}+l_{1}s^{1}+u_{2}s^{2}+u_{3}s^{3}+l_{4}s^{4}+l_{5}s^{5}+\cdots }$

${\displaystyle k_{2}(s)=u_{0}+u_{1}s^{1}+l_{2}s^{2}+l_{3}s^{3}+u_{4}s^{4}+u_{5}s^{5}+\cdots }$

${\displaystyle k_{3}(s)=l_{0}+u_{1}s^{1}+u_{2}s^{2}+l_{3}s^{3}+l_{4}s^{4}+u_{5}s^{5}+\cdots }$

${\displaystyle k_{4}(s)=u_{0}+l_{1}s^{1}+l_{2}s^{2}+u_{3}s^{3}+u_{4}s^{4}+l_{5}s^{5}+\cdots }$

стабильны.

Что несколько удивительно в результате Харитонова, так это то, что хотя в принципе мы проверяем на устойчивость бесконечное количество многочленов, на самом деле нам нужно проверить только четыре. Это можно сделать, используя метод Рауса – Гурвица или любой другой метод. Таким образом, для получения информации о стабильности интервального полинома требуется всего в четыре раза больше работы, чем для проверки устойчивости одного обычного полинома.

Теорема Харитонова полезна в области надежный контроль, который стремится разработать системы, которые будут хорошо работать, несмотря на неопределенности в поведении компонентов из-за погрешности измерения, изменение условий эксплуатации, износ оборудования и т. д.

Рекомендации

• В. Л. Харитонов, "Асимптотическая устойчивость положения равновесия семейства систем дифференциальных уравнений", Дифференциальные уравнения, 14 (1978), 2086-2088. (на русском)
• Академическая домашняя страница профессора В. Л. Харитонова