Теорема Капланских о квадратичных формах - Kaplanskys theorem on quadratic forms

В математика, Теорема Капланского о квадратичных формах является результатом одновременного представления простые числа к квадратичные формы. Это было доказано в 2003 г. Ирвинг Каплански.[1]

Формулировка теоремы

Теорема Капланского утверждает, что простое число п конгруэнтно 1 по модулю 16 может быть представлен обоими или ни одним из Икс2 + 32у2 и Икс2 + 64у2, а простое п сравнимое с 9 по модулю 16, представимо ровно одной из этих квадратичных форм.

Это замечательно, поскольку простые числа, представленные каждой из этих форм по отдельности, являются нет описывается условиями конгруэнтности.[2]

Доказательство

Доказательство Капланского использует тот факт, что 2 - это четвертая степень по модулю п если и только если п может быть представлен Икс2 + 64у2, и что −4 является 8-й степенью по модулюп если и только если п может быть представлен Икс2 + 32у2.

Примеры

  • Премьер п = 17 сравнимо с 1 по модулю 16 и не может быть представлено ни Икс2 + 32у2 ни Икс2 + 64у2.
  • Премьер п= 113 сравнимо с 1 по модулю 16 и может быть представлено как Икс2 + 32у2 и Икс2+64у2 (поскольку 113 = 92 + 32×12 и 113 = 72 + 64×12).
  • Премьер п = 41 сравнимо с 9 по модулю 16 и может быть представлено в виде Икс2 + 32у2 (поскольку 41 = 32 + 32×12), но не Икс2 + 64у2.
  • Премьер п = 73 сравнимо с 9 по модулю 16 и может быть представлено в виде Икс2 + 64у2 (поскольку 73 = 32 + 64×12), но не Икс2 + 32у2.

Похожие результаты

Известно пять результатов, подобных теореме Капланского:[3]

  • Премьер п сравнимый с 1 по модулю 20, может быть представлен обоими или ни одним из Икс2 + 20у2 и Икс2 + 100у2, а простое п сравнимый с 9 по модулю 20, представимо ровно одной из этих квадратичных форм.
  • Премьер п конгруэнтный 1, 16 или 22 по модулю 39, может быть представлен обоими или ни одним из Икс2 + ху + 10у2 и Икс2 + ху + 127у2, а простое п сравнимый с 4, 10 или 25 по модулю 39, может быть представлен ровно одной из этих квадратичных форм.
  • Премьер п конгруэнтный 1, 16, 26, 31 или 36 по модулю 55, может быть представлен обоими или ни одним из Икс2 + ху + 14у2 и Икс2 + ху + 69у2, а простое п сравнимый с 4, 9, 14, 34 или 49 по модулю 55, может быть представлен ровно одной из этих квадратичных форм.
  • Премьер п конгруэнтный 1, 65 или 81 по модулю 112, может быть представлен обоими или ни одним из Икс2 + 14у2 и Икс2 + 448у2, а простое п сравнимый с 9, 25 или 57 по модулю 112, может быть представлен ровно одной из этих квадратичных форм.
  • Премьер п конгруэнтный 1 или 169 по модулю 240, может быть представлен обоими или ни одним из Икс2 + 150у2 и Икс2 + 960у2, а простое п сравнимый с 49 или 121 по модулю 240, может быть представлен ровно одной из этих квадратичных форм.

Предполагается, что других подобных результатов с определенными формами не существует.

Примечания

  1. ^ Каплански, Ирвинг (2003), «Формы Икс + 32у2 и Икс + 64у^2 [sic ]", Труды Американского математического общества, 131 (7): 2299–2300 (электронный), Дои:10.1090 / S0002-9939-03-07022-9, МИСТЕР  1963780.
  2. ^ Кокс, Дэвид А. (1989), Простые числа формы Икс2 + ny2, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN  0-471-50654-0, МИСТЕР  1028322.
  3. ^ Бринк, Дэвид (2009), "Пять своеобразных теорем об одновременном представлении простых чисел квадратичными формами", Журнал теории чисел, 129 (2): 464–468, Дои:10.1016 / j.jnt.2008.04.007, МИСТЕР  2473893.