Разложение Калмана - Kalman decomposition

В теория управления, а Разложение Калмана предоставляет математические средства для преобразования представления любого линейный инвариантный во времени (LTI) система контроля в форму, в которой система может быть разложена на стандартную форму, которая проясняет наблюдаемый и управляемый компоненты системы. Эта декомпозиция приводит к тому, что система представляется с более понятной структурой, что упрощает выводы о ее характеристиках. достижимый и наблюдаемые подпространства.

Обозначение

Вывод идентичен как для систем LTI с дискретным, так и с непрерывным временем. Описание линейной системы с непрерывным временем:

${displaystyle {dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

${displaystyle ,y(t)=Cx(t)+Du(t)}$

куда

${displaystyle ,x}$ "вектор состояния",

${displaystyle ,y}$ это "выходной вектор",

${displaystyle ,u}$ "входной (или управляющий) вектор",

${displaystyle ,A}$ это «матрица состояний»,

${displaystyle ,B}$ "входная матрица",

${displaystyle ,C}$ это "выходная матрица",

${displaystyle ,D}$ представляет собой «матрицу сквозного (или прямого распространения)».

Точно так же линейную систему управления с дискретным временем можно описать как

${displaystyle ,x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)}$

${displaystyle ,y(k)=Cx(k)+Du(k)}$

с аналогичным значением для переменных. Таким образом, систему можно описать с помощью кортежа, состоящего из четырех матриц ${displaystyle ,(A,B,C,D)}$. Пусть порядок системы будет ${displaystyle ,n}$.

Тогда разложение Калмана определяется как преобразование набора ${displaystyle ,(A,B,C,D)}$ к ${displaystyle ,({hat {A}},{hat {B}},{hat {C}},{hat {D}})}$ следующее:

${displaystyle ,{hat {A}}=TA{T}^{-1}}$

${displaystyle ,{hat {B}}=TB}$

${displaystyle ,{hat {C}}=C{T}^{-1}}$

${displaystyle ,{hat {D}}=D}$

${displaystyle ,T^{-1}}$ является ${displaystyle ,n imes n}$ обратимая матрица, определяемая как

${displaystyle ,T^{-1}={egin{bmatrix}T_{r{overline {o}}}&T_{ro}&T_{overline {ro}}&T_{{overline {r}}o}end{bmatrix}}}$

куда

• ${displaystyle ,T_{r{overline {o}}}}$ представляет собой матрицу, столбцы которой охватывают подпространство состояний, которые одновременно достижимы и ненаблюдаемы.
• ${displaystyle ,T_{ro}}$ выбирается так, чтобы столбцы ${displaystyle ,{egin{bmatrix}T_{r{overline {o}}}&T_{ro}end{bmatrix}}}$ являются основой достижимого подпространства.
• ${displaystyle ,T_{overline {ro}}}$ выбирается так, чтобы столбцы ${displaystyle ,{egin{bmatrix}T_{r{overline {o}}}&T_{overline {ro}}end{bmatrix}}}$ являются базисом ненаблюдаемого подпространства.
• ${displaystyle ,T_{{overline {r}}o}}$ выбирается так, чтобы ${displaystyle ,{egin{bmatrix}T_{r{overline {o}}}&T_{ro}&T_{overline {ro}}&T_{{overline {r}}o}end{bmatrix}}}$ обратимо.

По построению матрица ${displaystyle ,T^{-1}}$ обратимо. Можно заметить, что некоторые из этих матриц могут иметь нулевую размерность. Например, если система является одновременно наблюдаемой и управляемой, то ${displaystyle ,T^{-1}=T_{ro}}$, делая остальные матрицы нулевыми.

Стандартная форма

Используя результаты управляемости и наблюдаемости, можно показать, что преобразованная система ${displaystyle ,({hat {A}},{hat {B}},{hat {C}},{hat {D}})}$ имеет матрицы следующего вида:

${displaystyle ,{hat {A}}={egin{bmatrix}A_{r{overline {o}}}&A_{12}&A_{13}&A_{14}�&A_{ro}&0&A_{24}�&0&A_{overline {ro}}&A_{34}�&0&0&A_{{overline {r}}o}end{bmatrix}}}$

${displaystyle ,{hat {B}}={egin{bmatrix}B_{r{overline {o}}}B_{ro}��end{bmatrix}}}$

${displaystyle ,{hat {C}}={egin{bmatrix}0&C_{ro}&0&C_{{overline {r}}o}end{bmatrix}}}$

${displaystyle ,{hat {D}}=D}$

Это приводит к выводу, что

• Подсистема ${displaystyle ,(A_{ro},B_{ro},C_{ro},D)}$ одновременно достижима и наблюдаема.
• Подсистема ${displaystyle ,left({egin{bmatrix}A_{r{overline {o}}}&A_{12}�&A_{ro}end{bmatrix}},{egin{bmatrix}B_{r{overline {o}}}B_{ro}end{bmatrix}},{egin{bmatrix}0&C_{ro}end{bmatrix}},Dight)}$ доступен.
• Подсистема ${displaystyle ,left({egin{bmatrix}A_{ro}&A_{24}�&A_{{overline {r}}o}end{bmatrix}},{egin{bmatrix}B_{ro}�end{bmatrix}},{egin{bmatrix}C_{ro}&C_{{overline {r}}o}end{bmatrix}},Dight)}$ наблюдается.

Смотрите также

• Наблюдаемость
• Управляемость

внешняя ссылка

• Лекции по динамическим системам и управлению, лекция 25 - Мохаммед Дале, Мунтер Далех, Джордж Вергезе - MIT OpenCourseWare