Теорема Кенигса (комплексный анализ) - Königs theorem (complex analysis)

В комплексный анализ и числовой анализ, Теорема Кенига,^[1] назван в честь венгерского математика Дьюла Кёниг, дает возможность оценить простые полюсы или простые корни функции. В частности, он имеет множество приложений в алгоритмы поиска корня подобно Метод Ньютона и его обобщение Метод Хаусхолдера.

Заявление

Учитывая мероморфная функция определено на ${\displaystyle |x|<R}$:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n},\qquad c_{0}\neq 0.}$

который имеет только один простой полюс ${\displaystyle x=r}$ на этом диске. потом

${\displaystyle {\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}=r+o(\sigma ^{n+1}),}$

куда ${\displaystyle 0<\sigma <1}$ такой, что ${\displaystyle |r|<\sigma R}$. В частности, у нас есть

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}=r.}$

Интуиция

Напомним, что

${\displaystyle {\frac {C}{x-r}}=-{\frac {C}{r}}\,{\frac {1}{1-x/r}}=-{\frac {C}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {x}{r}}\right]^{n},}$

который имеет коэффициент, равный ${\displaystyle {\frac {1/r^{n}}{1/r^{n+1}}}=r.}$

Вокруг его простого полюса функция ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}}$ будет меняться аналогично геометрическому ряду, и это также будет проявляться в коэффициентах ${\displaystyle f}$.

Другими словами, рядом х = г мы ожидаем, что функция будет определяться полюсом, т.е.

${\displaystyle f(x)\approx {\frac {C}{x-r}},}$

так что ${\displaystyle {\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\approx r}$.

Рекомендации

1. Домохозяин, Олстон Скотт (1970). Численное рассмотрение одного нелинейного уравнения. Макгроу-Хилл. п. 115. LCCN  79-103908.