Преобразование Жуковского - Joukowsky transform

Пример преобразования Жуковского. Круг вверху трансформируется в профиль Жуковского внизу.

В Прикладная математика, то Преобразование Жуковского, названный в честь Николай Жуковский (опубликовавший его в 1910 году),^[1] это конформная карта исторически используется для понимания некоторых принципов профиль дизайн.

Преобразование

${\displaystyle z=\zeta +{\frac {1}{\zeta }},}$

куда ${\displaystyle z=x+iy}$ это комплексная переменная в новом пространстве и ${\displaystyle \zeta =\chi +i\eta }$ - комплексная переменная в исходном пространстве. Это преобразование также называется Преобразование Жуковского, то Преобразование Жуковского, то Преобразование Жуковского и другие варианты.

В аэродинамика, преобразование используется для решения двумерной потенциальный поток вокруг класса крыловых профилей, известных как крыловые профили Жуковского. А Профиль Жуковского генерируется в комплексная плоскость (${\displaystyle z}$-плоскость), применив преобразование Жуковского к кругу в ${\displaystyle \zeta }$-самолет. Координаты центра круга являются переменными, и их изменение изменяет форму полученного профиля. Кружок охватывает точку ${\displaystyle \zeta =-1}$ (где производная равна нулю) и пересекает точку ${\displaystyle \zeta =1.}$ Это может быть достигнуто при любом допустимом центральном положении. ${\displaystyle \mu _{x}+i\mu _{y}}$ изменяя радиус круга.

Крылья Жуковского имеют куспид на их задний край. Тесно связанное конформное отображение, Преобразование Кармана – Треффца, генерирует гораздо более широкий класс крыловых профилей Кармана – Треффца, управляя углом задней кромки. Если задан нулевой угол задней кромки, преобразование Кармана – Треффца сводится к преобразованию Жуковского.

Преобразование генерала Жуковского

Преобразование Жуковского любого комплексного числа ${\displaystyle \zeta }$ к ${\displaystyle z}$ как следует:

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}\\&=\chi +i\eta +{\frac {1}{\chi +i\eta }}\\[2pt]&=\chi +i\eta +{\frac {\chi -i\eta }{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\\[2pt]&={\frac {\chi \left(\chi ^{2}+\eta ^{2}+1\right)}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}+i{\frac {\eta \left(\chi ^{2}+\eta ^{2}-1\right)}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Так что настоящий (${\displaystyle x}$) и мнимой (${\displaystyle y}$) компоненты:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\chi \left(\chi ^{2}+\eta ^{2}+1\right)}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}},\\[2pt]y&={\frac {\eta \left(\chi ^{2}+\eta ^{2}-1\right)}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Образец профиля Жуковского

Преобразование всех комплексных чисел на единичной окружности - частный случай.

${\displaystyle |\zeta |={\sqrt {\chi ^{2}+\eta ^{2}}}=1,\quad {\text{which gives}}\quad \chi ^{2}+\eta ^{2}=1.}$

Таким образом, реальный компонент становится ${\displaystyle x={\frac {\chi (1+1)}{1}}=2\chi }$ и мнимая составляющая становится ${\displaystyle y={\frac {\eta (1-1)}{1}}=0}$.

Таким образом, комплексная единичная окружность отображается на плоскую пластину на прямой от -2 до +2.

Преобразования из других кругов создают широкий диапазон форм крыловых профилей.

Поле скоростей и циркуляция для профиля Жуковского

Решение потенциальное обтекание кругового цилиндра является аналитический и хорошо известно. Это суперпозиция равномерный поток, а дублет, а вихрь.

Комплексно сопряженная скорость ${\displaystyle {\widetilde {W}}={\widetilde {u}}_{x}-i{\widetilde {u}}_{y},}$ по кругу в ${\displaystyle \zeta }$-самолет

${\displaystyle {\widetilde {W}}=V_{\infty }e^{-i\alpha }+{\frac {i\Gamma }{2\pi (\zeta -\mu )}}-{\frac {V_{\infty }R^{2}e^{i\alpha }}{(\zeta -\mu )^{2}}},}$

куда

${\displaystyle \mu =\mu _{x}+i\mu _{y}}$ - комплексная координата центра круга,

${\displaystyle V_{\infty }}$ это скорость набегающего потока жидкости,

${\displaystyle \alpha }$ это угол атаки профиля относительно набегающего потока,

${\displaystyle R}$ - радиус круга, рассчитанный с использованием ${\displaystyle R={\sqrt {\left(1-\mu _{x}\right)^{2}+\mu _{y}^{2}}}}$,

${\displaystyle \Gamma }$ это обращение, найдено с помощью Условие Кутты, которая в данном случае сводится к

${\displaystyle \Gamma =4\pi V_{\infty }R\sin \left(\alpha +\sin ^{-1}{\frac {\mu _{y}}{R}}\right).}$

Комплексная скорость ${\displaystyle W}$ вокруг профиля в ${\displaystyle z}$-плоскость согласно правилам конформного отображения и с использованием преобразования Жуковского,

${\displaystyle W={\frac {\widetilde {W}}{\frac {dz}{d\zeta }}}={\frac {\widetilde {W}}{1-{\frac {1}{\zeta ^{2}}}}}.}$

Здесь ${\displaystyle W=u_{x}-iu_{y},}$ с ${\displaystyle u_{x}}$ и ${\displaystyle u_{y}}$ компоненты скорости в ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ направления соответственно (${\displaystyle z=x+iy,}$ с ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ с реальной стоимостью). Исходя из этой скорости, другие интересующие свойства потока свойства, такие как коэффициент давления и поднимать на единицу пролета можно рассчитать.

Профиль Жуковского имеет куспид на задней кромке.

Преобразование названо в честь русский ученый Николай Жуковский. Его имя исторически было латинизировано несколькими способами, отсюда и вариация в написании преобразования.

Преобразование Кармана – Треффца

Пример преобразования Кармана – Треффца. Круг вверху в ${\displaystyle \zeta }$-самолет преобразуется в профиль Кармана – Треффца внизу, в ${\displaystyle z}$-самолет. Используемые параметры: ${\displaystyle \mu _{x}=-0.08,}$ ${\displaystyle \mu _{y}=+0.08}$ и ${\displaystyle n=1.94.}$ Обратите внимание, что профиль в ${\displaystyle z}$-плоскость была нормализована с помощью аккорд длина.

В Преобразование Кармана – Треффца является конформным отображением, тесно связанным с преобразованием Жуковского. В то время как у крылового профиля Жуковского задняя кромка закруглена, Профиль Кармана – Треффца- что является результатом преобразования круга в ${\displaystyle \zeta }$-самолет на физический ${\displaystyle z}$-самолет, аналогичный определению профиля Жуковского, имеет ненулевой угол на задней кромке между верхней и нижней поверхностью профиля. Следовательно, преобразование Кармана – Треффца требует дополнительного параметра: угла задней кромки ${\displaystyle \alpha .}$ Это преобразование^[2][3]

${\displaystyle z=nb{\frac {(\zeta +b)^{n}+(\zeta -b)^{n}}{(\zeta +b)^{n}-(\zeta -b)^{n}}},}$

(А)

куда ${\displaystyle b}$ - действительная константа, определяющая позиции, в которых ${\displaystyle dz/d\zeta =0}$, и ${\displaystyle n}$ немного меньше 2. Угол ${\displaystyle \alpha }$ между касательные верхней и нижней поверхностей профиля на задней кромке связано с ${\displaystyle n}$ в качестве^[2]

${\displaystyle \alpha =2\pi -n\pi ,\quad n=2-{\frac {\alpha }{\pi }}.}$

Производная ${\displaystyle dz/d\zeta }$, необходимая для вычисления поля скорости, равна

${\displaystyle {\frac {dz}{d\zeta }}={\frac {4n^{2}}{\zeta ^{2}-1}}{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}{\left[\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}-\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\right]^{2}}}.}$

Фон

Сначала добавьте и вычтите 2 из преобразования Жуковского, как указано выше:

${\displaystyle {\begin{aligned}z+2&=\zeta +2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta +1)^{2},\\z-2&=\zeta -2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta -1)^{2}.\end{aligned}}}$

Разделение левой и правой частей дает

${\displaystyle {\frac {z-2}{z+2}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{2}.}$

В Правая сторона содержит (как множитель) простой закон второй степени из потенциальный поток теория, применяемая на задней кромке вблизи ${\displaystyle \zeta =+1.}$ Из теории конформных отображений известно, что это квадратичное отображение меняет полуплоскость в ${\displaystyle \zeta }$-пространство в потенциальное обтекание полубесконечной прямой. Кроме того, значения мощности меньше 2 приведут к обтеканию конечного угла. Итак, изменив степень в преобразовании Жуковского на значение немного меньше 2, результатом будет конечный угол вместо острого выступа. Замена 2 на ${\displaystyle n}$ в предыдущем уравнении дает^[2]

${\displaystyle {\frac {z-n}{z+n}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{n},}$

что является преобразованием Кармана – Треффца. Решение для ${\displaystyle z}$ дает его в виде уравнения А.

Симметричные крылья Жуковского

В 1943 г. Сюэ-шэнь Цзянь опубликовал преобразование окружности радиуса ${\displaystyle a}$ в симметричный профиль, зависящий от параметра ${\displaystyle \epsilon }$ и угол наклона ${\displaystyle \alpha }$:^[4]

${\displaystyle z=e^{i\alpha }\left(\zeta -\epsilon +{\frac {1}{\zeta -\epsilon }}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{a+\epsilon }}\right).}$

Параметр ${\displaystyle \epsilon }$ дает плоскую пластину при нуле и круг при бесконечности; таким образом, это соответствует толщине профиля.

Примечания

1. Жуковский, Н. (1910). "Uber die Konturen der Tragflächen der Drachenflieger". Zeitschrift für Flugtechnik und Motorluftschiffahrt (на немецком). 1: 281–284 и (1912). 3: 81–86.
2. Милн-Томсон, Луи М. (1973). Теоретическая аэродинамика (4-е изд.). Dover Publ. стр.128 –131. ISBN  0-486-61980-X.
3. Блом, Дж. Дж. Х. (1981). «Некоторые характерные величины профилей Кармана-Треффца». Технический меморандум НАСА TM-77013.
4. Цзянь, Сюэ-шэнь (1943). "Симметричные крылья Жуковского в сдвиговом потоке". Квартал прикладной математики. 1: 130–248.

Рекомендации

• Андерсон, Джон (1991). Основы аэродинамики (Второе изд.). Торонто: Макгроу – Хилл. С. 195–208. ISBN  0-07-001679-8.
• Зингг, Д. В. (1989). «Вычисления Эйлера с низким числом Маха». НАСА ТМ-102205.

внешняя ссылка

• Апплет Joukowski Transform NASA
• Интерактивное веб-приложение Joukowsky Transform