Параболическая формула Джонсона - Johnsons parabolic formula

График параболы Джонсона (выделен красным) в сравнении с формулой Эйлера с указанием точки перехода. Область над кривой указывает на сбой. Парабола Джонсона создает новую область отказа.

В Строительная инженерия, Параболическая формула Джонсона представляет собой эмпирическое уравнение для расчета критического коробление напряжение столбец. Формула основана на экспериментальных результатах Дж. Б. Джонсон примерно с 1900 года в качестве альтернативы Критическая нагрузка Эйлера формула под низким коэффициент стройности (соотношение радиус вращения к эффективной длине) условия. Уравнение интерполирует между предел текучести материала к критическому напряжению потери устойчивости, определяемому формулой Эйлера, связывающей коэффициент гибкости с напряжением, необходимым для изгиба колонны.

Коробление относится к режим отказа при котором конструкция теряет устойчивость. Это вызвано недостаточной жесткостью конструкции.^[1] Нагрузка на длинный тонкий стержень может привести к разрушению изгиба до того, как образец может разрушиться при сжатии.^[2]

Джонсон Парабола

Формула Эйлера для продольного изгиба тонкой колонны дает критический уровень напряжения, вызывающего изгиб, но при этом учитывает режимы разрушения материала, такие как текучесть, которая, как было показано, снижает критическое напряжение изгиба. Формула Джонсона интерполирует между пределом текучести материала колонны и критическим напряжением, определяемым формулой Эйлера. Он создает новую границу разрушения, устанавливая параболу на график разрушения для потери устойчивости Эйлера с использованием

${\displaystyle \sigma _{cr}=\sigma _{y}-{1 \over E}{\left({\frac {\sigma _{y}}{2\pi }}\right)}^{2}{\left({\frac {l}{k}}\right)}^{2}}$

На графике кривой Эйлера есть точка перехода, находящаяся при критическом отношении гибкости. При значениях гибкости ниже этой точки (встречающихся в образцах с относительно короткой длиной по сравнению с их поперечным сечением) график будет следовать параболе Джонсона; Напротив, более высокие значения гибкости будут более точно соответствовать уравнению Эйлера.

Формула Эйлера

${\displaystyle \sigma _{cr}={P_{cr} \over A}={\pi ^{2}EI \over AL_{e}^{2}}={\pi ^{2}E \over \left({\frac {l}{k}}\right)^{2}}}$

куда

${\displaystyle \sigma _{cr}=}$ критическое напряжение,

${\displaystyle P_{cr}=}$ критическая сила,

${\displaystyle A=}$ площадь поперечного сечения,

${\displaystyle L_{e}=}$ Эффективная длина стержня,

${\displaystyle E=}$ модуль упругости,

${\displaystyle I=}$ площадь момента инерции поперечного сечения стержня,

${\displaystyle {l \over k}}$ = коэффициент гибкости.

Уравнение Эйлера полезно в таких ситуациях, как идеальный закрепленный-закрепленный столбец или в случаях, когда эффективная длина может использоваться для корректировки существующей формулы (например, фиксированная-свободная).^[3]

	Прикреплено-Прикреплено	Фиксированный-фиксированный	Фиксированный-закрепленный	Фиксированный бесплатно
Эффективная длина, ${\displaystyle L_{e}}$	1л	0,5 л	0,7 л	2L

(L - исходная длина образца до приложения силы.)

Однако некоторые геометрические формы не точно представлены формулой Эйлера. Одной из переменных в приведенном выше уравнении, отражающей геометрию образца, является коэффициент гибкости, который представляет собой длину колонны, деленную на радиус вращения.^[4]

Коэффициент гибкости является показателем сопротивления образца изгибу и продольному изгибу из-за его длины и поперечного сечения. Если коэффициент гибкости меньше критического коэффициента гибкости, столбец считается коротким. В этих случаях парабола Джонсона более применима, чем формула Эйлера.^[5]Коэффициент гибкости члена можно найти с помощью ${\displaystyle \left({\frac {l}{k}}\right)=L_{e}{\sqrt {A \over I}}}$

Критический коэффициент гибкости равен

${\displaystyle \left({\frac {l}{k}}\right)_{cr}={\sqrt {2\pi ^{2}E \over \sigma _{y}}}}$

Пример

График формул Эйлера и Джонсона для Al 2024. Точка перехода находится при критическом отношении гибкости.

Одним из распространенных материалов в аэрокосмической отрасли является Al 2024. Некоторые свойства материала Al 2024 были определены экспериментально, такие как предел текучести при растяжении (324 МПа) и модуль упругости (73,1 ГПа). ^[6] Формулу Эйлера можно было бы использовать для построения кривой разрушения, но она не будет точной ниже определенного ${\displaystyle {\frac {l}{k}}}$ значение, критический коэффициент гибкости.

${\displaystyle {\left({\frac {l}{k}}\right)}_{cr}={\sqrt {2\pi ^{2}E \over \sigma _{y}}}={\sqrt {\frac {2\pi ^{2}\times 73.1\times 10^{9}}{324\times 10^{6}}}}=66.7}$

Следовательно, уравнение Эйлера применимо для значений ${\displaystyle {\frac {l}{k}}}$ больше 66,7.

Эйлер: ${\displaystyle \sigma _{cr}={\pi ^{2}E \over \left({\frac {l}{k}}\right)^{2}}={\pi ^{2}\times 73.1\times 10^{9} \over \left({\frac {l}{k}}\right)^{2}}}$ за ${\displaystyle {\frac {l}{k}}>66.7}$

(единицы в паскалях)

Парабола Джонсона заботится о меньшем ${\displaystyle {\frac {l}{k}}}$ значения.

Джонсон: ${\displaystyle \sigma _{cr}=\sigma _{y}-{1 \over E}{\left({\frac {\sigma _{y}}{2\pi }}\right)}^{2}{\left({\frac {l}{k}}\right)}^{2}=324\times 10^{6}-{1 \over 73.1\times 10^{9}}{\left({\frac {324\times 10^{6}}{2\pi }}\right)}^{2}{\left({\frac {l}{k}}\right)}^{2}}$ за ${\displaystyle 0\leq {\frac {l}{k}}\leq 66.7}$

(единицы в паскалях)

Рекомендации

1. Университет Райса (2009 г.). «Анализ устойчивости». Извлекаются из https://www.clear.rice.edu/mech403/HelpFiles/FEA_Buckling_analysis.pdf
2. Дорнфельд, В. (27 октября 2016 г. «Машинный дизайн». Университет Фэрфилда. Извлекаются из http://www.faculty.fairfield.edu/wdornfeld/ME311/ME311MachineDesignNotes07.pdf
3. MechaniCalc (2016). «Стойка колонны». Извлекаются из https://mechanicalc.com/reference/column-buckling
4. Белло, Д. (2016). «Коробление». Колледж Аллана Хэнкока. Извлекаются из http://www.ah-engr.com/som/10_buckling/text_10-1.htm
5. Инженер Эдж (2016). "Расчет и уравнение продольного изгиба закрепленной колонны". Извлекаются из http://www.engineersedge.com/column_buckling/column_ideal.htm
6. CRP Meccanica. «Алюминий 2024-Т4». Извлекаются из http://www.crpmeccanica.com/PDF/aluminium-2024-t4-2024-t351.pdf